《现代控制理论基础》第三章(讲义) 由上一章的内容可知,式(3.1)的解为 x()=ex(0) 利用状态能控性的定义,可得 (t)=0=ex(0) Bu(r)dr (0)=-e-B(r)dr 将e-4写为A的有限项的形式,即 (3.3) 将式(3.3)代入式(3.2),可得 x(0)=-2ABLa,(ru(r)dr (3.4) a,(t)u(r)dr=Bk 则式(3.4)成为 (0) A"BB B Bi -[B:AB∷…A"Bj B 如果系统是状态能控的,那么给定任一初始状态x(0),都应满足式(3.5)。这就要求 n维矩阵 Q=[B:AB∷…AmB 的秩为n 由此分析,可将状态能控性的代数判据归纳为:当且仅当n×n维矩阵Q满秩,即 nko= rank[B: AB::A"B=n 时,由式(3.1)确定的系统才是状态能控的。 上述结论也可推广到控制向量u为r维的情况。此时,如果系统的状态方程为 Ax+ Bu 式中,x()∈R”,l(1)∈R,A∈R",B∈R",那么可以证明,状态能控性的条件为n 2《现代控制理论基础》第三章(讲义) 2 由上一章的内容可知，式(3.1)的解为  − = + t o At A t x t e x e d (  ) ( ) (0) 利用状态能控性的定义，可得    x t e x e Bu d t o At A t ( ) 0 (0) ( ) 1 1 1 ( ) 1  − = = + 或  − = − 1 0 (0) ( ) t A x e Bu  d  (3.2) 将 A e − 写为 A 的有限项的形式，即  − = − = 1 0 ( ) n k k k A e   A  (3.3) 将式(3.3)代入式（3.2），可得   − = = − 1 0 0 1 (0) ( ) ( ) n k t k k x A B a  u  d (3.4) 记  = 1 0 ( ) ( ) t ak u d  k    则式(3.4)成为                     • • • = − = − − − − =  1 1 0 1 1 0 [ ] (0) n n n k k k B AB A B x A B       (3.5) 如果系统是状态能控的，那么给定任一初始状态 x(0)，都应满足式（3.5）。这就要求 n ×n 维矩阵 [ ] 1 Q B AB A B n− =   的秩为 n。 由此分析，可将状态能控性的代数判据归纳为：当且仅当 n×n 维矩阵 Q 满秩，即 rankQ rank B AB A B n n = = − [ ] 1   时，由式（3.1）确定的系统才是状态能控的。 上述结论也可推广到控制向量 u 为 r 维的情况。此时，如果系统的状态方程为 x  = Ax + Bu 式中， n r n n n r x t R u t R A R B R   ( ) , ( ) ,  ,  ，那么可以证明，状态能控性的条件为 n×