《现代控制理论基础》第三章(讲义) nr维矩阵 Q=[B:AB∷…:AmB 的秩为n,或者说其中的n个列向量时线性无关的。通常,我们称矩阵 Q=[B:AB:…:AnB] 能控性矩阵 [例3.1]考虑由下式确定的系统: 由于 det o= det [ B: AB 0 即Q为奇异,所以该系统是状态不能控的 [例3.2]考虑由下式确定的系统: 对于该情况, det o= det B: ABJ= ≠ 即Q为非奇异,因此系统是状态能控的。 3.13状态能控性条件的标准形判据 关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外,本小节将给出一种相当直观 的方法,这就是从标准形的角度给出的判据 考虑如下的线性系统 x= Ax+ Bu 式中,x(1)∈R”,u(1)∈R,A∈R"",B∈R", 如果A的特征向量互不相同,则可找到一个非奇异线性变换矩阵P,使得 qg!1,2,…n} 注意,如果A的特征值相异,那么A的特征向量也互不相同;然而,反过来不成立。例 如,具有相重特征值的n×n维实对称矩阵也有可能有n个互不相同的特征向量。还应注意, 矩阵P的每一列是与λi(1=1,2,…,m有联系的A的一个特征向量 设《现代控制理论基础》第三章(讲义) 3 nr 维矩阵 [ ] 1 Q B AB A B n− =   的秩为 n，或者说其中的 n 个列向量时线性无关的。通常，我们称矩阵 [ ] 1 Q B AB A B n− =   能控性矩阵。 ------------------------------------------------------------------------------ [例 3.1] 考虑由下式确定的系统： u x x x x       +            − =      1 0 0 1 1 1 2 1 2 1   由于 0 0 0 1 1 detQ = det[B  AB] = = 即 Q 为奇异，所以该系统是状态不能控的。 ------------------------------------------------------------------------------ [例 3.2] 考虑由下式确定的系统： u x x x x       +            − =      1 0 2 1 1 1 2 1 2 1   对于该情况， 0 1 1 0 1 det det[ ]  − Q = B  AB = 即 Q 为非奇异，因此系统是状态能控的。 ------------------------------------------------------------------------------ 3.1.3 状态能控性条件的标准形判据 关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外，本小节将给出一种相当直观 的方法，这就是从标准形的角度给出的判据。 考虑如下的线性系统 x  = Ax + Bu (3.6) 式中， n r n n n r x t R u t R A R B R   ( ) , ( ) ,  ,  。 如果 A 的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵 P，使得 P AP diag1 ,2 , ,n  −1 =  =  注意，如果 A 的特征值相异，那么 A 的特征向量也互不相同；然而，反过来不成立。例 如，具有相重特征值的 n×n 维实对称矩阵也有可能有 n 个互不相同的特征向量。还应注意， 矩阵 P 的每一列是与λi (i=1,2, …，n)有联系的 A 的一个特征向量。 设