《现代控制理论基础》第三章(讲义) (3.7) 将式(3.7)代入式(3.6),可得 P-lAP=+p-Bu 定义 B=r=U) 则可将式(3.8)重写为 =121+f1l1+f1,2+…+f,l 2=12-2+f21l1+f22+…+f2l an=n+fmu,+f 如果n×r维矩阵r的任一行元素全为零,那么对应的状态变量就不能由任一u,来控制。 由于状态能控的条件是A的特征向量互异,因此当且仅当输入矩阵=P-B没有一行的所 有元素均为零时,系统才是状态能控的。在应用状态能控性的这一条件时,应特别注意,必 须将式(3.8)的矩阵PAP转换成对角线形式 如果式(3.6)中的矩阵A不具有互异的特征向量,则不能将其化为对角线形式。在这 种情况下,可将A化为 Jordan标准形。例如,若A的特征值分别λ,λ,λ,λ,λ,λ6,…, n,并且有n-3个互异的特征向量,那么A的 Jordan标准形为 0A1 0x1 0x4 其中,在主对角线上的3×3和2×2子矩阵称为 Jordan块。 假设能找到一个变换矩阵S,使得 S AS=J 如果利用 S 定义一个新的状态向量z,将式(3.9)代入式(3.6)中,可得到《现代控制理论基础》第三章(讲义) 4 x = P z (3.7) 将式(3.7)代入式(3.6)，可得 z P APz P Bu −1 −1  = + (3.8) 定义 ( ) 1 ij P B =  = f − 则可将式（3.8）重写为 n n n n n nr r r r r r z z f u f u f u z z f u f u f u z z f u f u f u = + + + + = + + + + = + + + +        1 1 2 2 2 2 2 21 1 22 2 2 1 1 1 11 1 12 2 1    如果 n×r 维矩阵 的任一行元素全为零，那么对应的状态变量就不能由任一 i u 来控制。 由于状态能控的条件是 A 的特征向量互异，因此当且仅当输入矩阵 P B −1  = 没有一行的所 有元素均为零时，系统才是状态能控的。在应用状态能控性的这一条件时，应特别注意，必 须将式（3.8）的矩阵 P AP −1 转换成对角线形式。 如果式（3.6）中的矩阵 A 不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这 种情况下，可将 A 化为 Jordan 标准形。例如，若 A 的特征值分别λ1,λ1,λ1,λ4,λ4,λ6,…, λn,并且有 n - 3 个互异的特征向量，那么 A 的 Jordan 标准形为                                 = n J        0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 6 4 4 1 1 1    其中，在主对角线上的 3×3 和 2×2 子矩阵称为 Jordan 块。 假设能找到一个变换矩阵 S，使得 S AS = J −1 如果利用 x = S z (3.9) 定义一个新的状态向量 z，将式（3.9）代入式（3.6）中，可得到