在0,2m内曲线有拐点为(,0),(,0) .若f"(x0)不存在点(x,f(x)也可能是 连续曲线y=f(x)的拐点 例4求曲线y=√x的拐点 解:当x≠0时,y=x3,y”=-x3, x=0是不可导点y,y”均不存在 但在(一∞O内,y”>0,曲线在(∞0上是凹的 在(0,+∞内y2<0,曲线在[0,+∞)上是凸的 点(00)是曲线y=x的拐点 四、小结 曲线的弯曲方向——凹凸性; 凹凸性的判定 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法1,2 思考题 设f(x)在(ab)内二阶可导,且∫"(x)=0,其中x0∈(a,b),则(x0,f(x0)是 否一定为曲线∫(x)的拐点?举例说明 思考题解答 因为∫(x0)=0只是(x0,f(x0)为拐点的必要条件,故(x0,f(x0))不一定是拐点 例:f(x)=xx∈(-∞,+∞)f"(0)=0但(0,0)并不是曲线f(x)的拐点5 在[0,2]内曲线有拐点为 ,0). 4 7 ,0), ( 4 3 (   注意: ( ) . ( ) , ( , ( )) 0 0 0 连续曲线 的拐点 若 不存在 点 也可能是 y f x f x x f x =  例 4 . 求曲线 y = 3 x 的拐点 解：当x  0时, , 3 1 3 2 − y  = x , 9 4 3 5 − y  = − x x = 0是不可导点, y  , y 均不存在. 但在(−,0)内, y   0, 曲线在(−,0]上是凹的; 在(0,+)内, y   0, 曲线在[0,+)上是凸的. (0,0) . 点 是曲线 y = 3 x的拐点 四、小结 曲线的弯曲方向——凹凸性; 凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法 1, 2. 思考题 设 f (x) 在 (a,b) 内二阶可导，且 f (x0 ) = 0 ，其中 ( , ) x0  a b ，则 ( , 0 x ( )) 0 f x 是 否一定为曲线 f (x) 的拐点？举例说明. 思考题解答 因为 f (x0 ) = 0 只是 ( , 0 x ( )) 0 f x 为拐点的必要条件，故 ( , 0 x ( )) 0 f x 不一定是拐点. 例： 4 f (x) = x x(−,+) f (0) = 0 但 (0,0) 并不是曲线 f (x) 的拐点