《数学分析(1,2,3)》教案 例:求∑mx2"的和函数S(x) 例:求∑(-1)的和函数S(x) 2n+I 例:求∑x的和函数S(x) 三函数的幂级数展开 幂级数不仅形式简单,而且有很多特殊的性质(如收敛域是区间;在收敛域内部内闭一致收敛,在收敛 域内可逐项积分、逐项微分等)。这就使我们想到,能否把一个函数表示为幂级数来研究 定理4设∫(x)在(x-6,x+0)内有n+1阶连续导数,则对一切x∈(x-,x+0),有 f(x)=f(x)+f(x0)x-x)+…+m(x) (x-x0)”+n(x) 其中(x)=「fm(x-)d 在实际应用中往往取x=0,此时的 Taylor级数 f0)×(0),f"(0 称为Mm级数此时积分型余项为{()=1ym(ox-yh 1ex=1+x++…++ 00<X<0 Slnx=x一一 0<x<0 COS x 0<x<0 In(1 1<x<1 5 arctan =x -1≤x≤1 357 6(+x)=∑Cx x∈<-1.1> -n+ 此处,a≠0,1,2,…,Cn= 11-7《数学分析（1，2，3）》教案 11-7 例: 求 2 1 n n nx  =  的和函数 S x( ) 。 例: 求 2 1 0 ( 1) 2 1 n n n x n  + = − +  的和函数 S x( ) 。 例: 求 0 n n x n  =  的和函数 S x( ) 。 三 函数的幂级数展开 幂级数不仅形式简单，而且有很多特殊的性质（如收敛域是区间；在收敛域内部内闭一致收敛，在收敛 域内可逐项积分、逐项微分等）。这就使我们想到，能否把一个函数表示为幂级数来研究？ 定理 4 设 f x( ) 在 ( x x 0 0 − +   , ) 内有 n +1 阶连续导数，则对一切 x x x  − + ( 0 0   , ) ，有 ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ! n n n f x f x f x f x x x x x r x n ( = + − + + − +  ， 其中 0 1 ( 1) ( ) ( )( ) ! x n n n x r x f t x t dt n + = −  . 在实际应用中,往往取 0 x = 0,此时的 Taylor 级数 2 (0) (0) (0) 1! 2! f f f x x   + + + 称为 Maclaurin 级数, 此时积分型余项为 ( 1) 0 1 ( ) ( )( ) ! x n n n r x f t x t dt n + = −  . 1 2 1 2! ! n x x x e x n = + + + + + , −    x 5 3 5 2 1 sin ( 1) 3! 5! (2 1)! n x x x n x x n + = − + − + − + + , −    x 3 2 4 2 cos 1 ( 1) 2! 4! (2 )! n x x x n x n = − + − + − + , −    x 4 2 3 1 ln(1 ) ( 1) 2 3 n x x x n x x n − + = − + − + − + , −   1 1 x 5 3 5 7 arctan 3 5 7 x x x x x = − + − + , −   1 1 x 6 0 (1 ) n n n x C x    = + =  , x  −  1,1 此处,  0,1,2, , ( 1) ( 1) ! n n C n     − − + =