第61讲定积分的积分法 207 ∫小=mzdx=snx-dz (cosr-sinz)dx+(sinx-cosx)dx =[sint cosx]+[-cosr- sinx Y2-1) 本题应注意开方要取绝对值:√(sinx-cosx)2=|sinx-cosx|,积分时要去掉绝对值 号,即把含绝对值号的表达式写成分段函数 (2)本题也是含绝对值符号的函数的积分,应去掉绝对值符号,将其写成分段函数.为 此,先令绝对值内的式子等于零,即令x2-2x+3=0,求出在积分区间内的根为x=-1, x=3,再据此把积分区间分为三个子区间[-5,-1],(-1,3),[3,5],去掉各子区间上被 积函数的绝对值符号,得 x2-2x-3|=|(x+1)(x-3) 2x-3 5≤x≤-1,3≤x≤5; 3) 1<x<3 根据被积函数的取值情况分段进行积分,然后利用积分对区间的可加性求出其积分值 故 x2-2x-3|dx 」x2-2x-3)dz+」 2x-3)dx+(x2-2x-3)dx ] ]1+ 224 3 3 使用公式(1)应注意:①f(x)在[a,b]上连续;②F(x)为f(x)在[a,b上的一个原函 数 、定积分的换元法 定理2设f(x)在[a,b]上连续,而x=g(t)满足:(1)g(a)=a,y()=b;(2)9(t)在 [a,]或[,a]上具有连续导数,则有 f(r)dx=f[o(t)]d(t)dt 61.2) 公式(61.2)称为定积分的换元公式 若f[g(t)]的原函数为中[y(t)],则(61.2)可以反过来用,即 f[q(t)jφ()dt=|fq(t)d(q(t)=[q(t)]3 (61.3) 公式(61.3)没有明显换元过程,是一种凑微分方法,所以不必换限 或f(x)的原函数为φ(x),则(61.2)反过来用时,有 fto(r)]o(r)dt 令x=g(t) f(x)dx=[φ(x)], (61.4) 在使用公式(61.2)、(61.4)时,要注意两点:①代换x=gt)在[,a](或[a,])上具有 连续导数,②换元的同时,必须换限而使用公式(61.3)时,没有换元,只是用凑微分的方 法,故不必换限 例4计算下列积分: (1)。3+ irdr;(2)Jc+e-:(3)