406 高等数学重点难点100讲 第92讲正项级数审敛法 对于一个级数∑,=1+2+…+xn+……我们主要讨论两个问题 (1)∑an是否收敛?即其部分和S,=1+n2+…+,的极限lmS是否存在? (2)若∑收敛它的和S=? 显然,讨论同题(1)要比讨论问题(2)更为重要,因为若∑,发散,问题(2)就不存在; n=1 若∑an收敛,那么即使还不知道它的和我们也可以用它的部分和S,去逼近它.由于和S limS,,即S=Sn+rn(余项r,→0,当n→∞时),所以这种逼近可以达到任意高的精确 度 由于正项级数在整个级数理论中的重要地位,这一讲着重讨论正项级数敛散性的判定 方法 正项级数的判敛思路: 「积分判別法 limu 比值法 较法的 比较法的 敛散性定义 极限形式 般形式 收效准则 ≠0 1根值法 ∑u发散 p<I 收敛 存在lims ∑u发散∑u收敛 下面按此程序依次讨论 比值判别法,根值判别法、积分判別法 ∑an发散 比值判别法设∑u0>0,m“2=1P=1,方法失效 p<1.∑xn收敛 p>1,∑u,发散 根值判别法设∑(n>0),my.=1P=1,方法失效 ρ<1,∑un收敛 积分判别法.设∑an(an>0),若在[1,+∞)上有一个单调连续的减函数f(x),且 f(n)=则∑n与,f(x)dx具有相同的敛散性 这三个判别法的共同特点是:利用级数本身就可以判别其敛散性,不用另找比较级数 例1判别下列级数的敛散性: