第92讲正项级数审敛法 407 (1) ∑ (2) √2) ∑ n!()" (3) arctan (n2 (4)∑( n+1)(a>0); an (5) nInn (6) n(Inn) 解根据通项un选用判别法,当正项级数的一般项是一些因子的连乘积,当xn中含有 n!,n”或c(c为常数)因子时,用比值判别法比较简便,这是因为在么+中能使阶乘符号消 失;对于c",能使n次幂消失对于n,往往能利用极限式im(1+)”=e求极限,据此,(1), (2)应用比值判别法 (1)=limn2(n+1) 书)(m如方<由比判 法知:所给级数收敛 (n+1)!( (2)lim E llm (1+-) 因为数列(1+1)”}是单调增加趋向于e的,所以对任意的n均有:(1+1)<e,从 而 ,(1+2>1即对任意的n,有n>>…>1=可见lmn,≠0因此, 所给级数发散 当正项级数的一般项tn为n次方形式,或un是一些因子的乘积,其中含有c"(c为常数) 时,用根值判别法比较方便.据此,(3)、(4)可用根值判别法 (3)lim√un=lim (arctan) 2 In2 >1,由根值判别法知:所给级数发散 (4)lim√un=lim an n+1 a,当a<1时,所给级数收敛;当a>1时,所给级数发散 当a=1时,原级数通项un=( 1 (n→∞),故所给级数发散 (1+-)” nI 综上,当0<a<1时,级数收敛,当a≥1时,级数发散 若f(x)连续、非负单调减,则正项级数∑f(n)与无穷积分,f(x)dx同时收敛,或 同时发散.从而当相应的无穷积分f(x)dx的敛散性易于判断时,可以通过积分的方法 来判定级数∑f(n)的敛散性 (5)取∫(x) rlnr ,f(x)在(2,+∞)上是单调减少的正值连续函数 2 -dr= In(Inr)/+ac limIn(Inr)-Inln2= 此广义积分发散,故所给级数发散 (6)把通项x,=n(m)中的n换成x,考虑函数f(x)= (Inr)