第24讲自伴算子的谱论 教学目的:掌握自伴算子谱的特征。 讲解要点 伴算子数值值域的特征 2自伴算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子 方程解的关系 3紧自伴算子的投影算子分解 本节我们讨论复 Hilbert空间上的自伴算子 定理1若H是 Hilbert空间,A∈B(H),A是A的共轭算子 则 p(A)={:A∈p(A)} (A)={:A∈a(A)} (5-3-1) (2)若x是A的相应于A的特征向量,y是A的相应于p的特 征向量,A≠,则x⊥y 证明1°只须证明第一式,若A∈p(A),A-A为正则算子,此 时(-A)=I-A正则,故∈p(A),{:A∈p(A)}cp(A) 但(A')=A,于是{:λ∈p(')}cp(4")=p(A),两端取复共轭 得到p(A)c{A:A∈p(A)},从而得到等式 2°若(-A)x=0,(d-A')y=0,x≠0,y≠0, a(x, y)=(x, y)=(Ax, y)=(x, A'y) =(x,0y)=m(x,y) 于是(-)(x,y)=0,≠,故(x,y)=0.从而x⊥y 定理2设H是 Hilbert空间,A∈B(H)是自伴算子1 第 24 讲 自伴算子的谱论 教学目的：掌握自伴算子谱的特征。 讲解要点： 1 自伴算子数值值域的特征。 2 自伴算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子 方程解的关系。 3 紧自伴算子的投影算子分解。 本节我们讨论复 Hilbert 空间上的自伴算子. 定理 1 若 H 是 Hilbert 空间， A∈ Β(H) ， * A 是 A 的共轭算子， 则 (1) ( ) { : ( )} * ρ A = λ λ ∈ ρ A ， ( ) { : ( )} * σ A = λ λ ∈σ A （5-3-1） (2) 若 x 是 A 的相应于 λ 的特征向量，y 是 * A 的相应于 µ 的特 征向量， λ ≠ µ ,则 x ⊥ y . 证明 D 1 只须证明第一式，若 λ ∈ ρ(A) ， λI − A为正则算子，此 时 * ( ) λI − A = * λ I − A 正则， 故 ( ) * λ ∈ ρ A ， * { : ( )} ( ) λλ ρ ρ ∈ ⊂ A A . 但 A = A * * ( ) ，于是 { : ( )} ( ) ( ) * ** λ λ ∈ ρ A ⊂ ρ A = ρ A ，两端取复共轭 得到 ( ) { : ( )} * ρ A ⊂ λ λ ∈ ρ A ，从而得到等式. D 2 若 (λI − A)x = 0 , ( ) 0 * µI − A y = ， x ≠ 0 ， y ≠ 0，则 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) * λ x y = λx λy = Ax y = x A y = (x,µy) = µ(x, y). 于是 (λ − µ)(x, y) = 0， λ ≠ µ ，故 (x, y) = 0 . 从而 x ⊥ y . 定理 2 设 H 是 Hilbert 空间， A∈ Β(H) 是自伴算子