记β=-(caxn+cn2ax+2+…+cnan),则由引理,它可以被线性无关的向量组 a.唯一地线性表示,于是由(1)、(2)两式可知 于是n=(C1,C2,…,Cn)=Cnn+c+2n2+…+Cnn-。这就证明了n,n2…n是解向量组 的一个极大线性无关部分组。再由矩阵的秩的定义可知命题成立。证毕 基础解系的求法 我们只要找到齐次线性方程组的n-r各自有未知量,就可以获得它的基础解系。具体 地说,我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形,那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵 的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端,其余n-r个未知量移到等式 右端,再令右端n-r个未知量其中的一个为1,其余为零,这样可以得到n-r个解向量, 这n-r个解向量构成了方程组的基础解系。 例求数域K上的齐次线性方程组 x1+x2 x=0 4x1-2x2+6x3+3x4-4x5=0, 2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=0 的一个基础解系 解用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形: 1-12-10 4-263-4 0003-1 4-700000 于是r(4)=3,基础解系中有n-r(4)=5-3=2个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程 组 2 0 移项,得记 1 1 2 2 ( ) r r r r n n     c c c = − + + + + + + + ，则由引理，它可以被线性无关的向量组 1 2 , , ,   r 唯一地线性表示，于是由（1）、（2）两式可知 1 1 2 2 '; '; ' r r c c c c c c = = = ， 于是 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n r r n n r     c c c c c c = = + + + + + − 。这就证明了 1 2 , , ,   n r − 是解向量组 的一个极大线性无关部分组。再由矩阵的秩的定义可知命题成立。证毕。 基础解系的求法 我们只要找到齐次线性方程组的 n r − 各自有未知量，就可以获得它的基础解系。具体 地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵 的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余 n r − 个未知量移到等式 右端，再令右端 n r − 个未知量其中的一个为 1，其余为零，这样可以得到 n r − 个解向量， 这 n r − 个解向量构成了方程组的基础解系。 例 求数域 K 上的齐次线性方程组 1 2 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 0, 2 0, 4 2 6 3 4 0, 2 4 2 4 7 0. x x x x x x x x x x x x x x x x x x  + − − =   − + − =  − + + − =    + − + − = 的一个基础解系。 解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形： 1 1 0 3 1 1 1 0 3 1 1 1 2 1 0 0 2 2 2 1 4 2 6 3 4 0 0 0 3 1 2 4 2 4 7 0 0 0 0 0     − − − −     − − − − −     →     − − −         − − ， 于是 r (A) = 3 ，基础解系中有 n − r (A) = 5 − 3 = 2 个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程 组 1 2 4 5 2 3 4 5 4 5 3 0 , 2 2 2 0 , 3 0 . x x x x x x x x x x  + − − =   − − − =   − = 移项，得 1 2 4 5 2 4 3 5 4 5 3 , 2 2 2 , 3 . x x x x x x x x x x  + − =   − = +   =