0 P,,n nxN 有 等价于初等行变换中互换i,j两行,而 0 等价于初等列变换中互换,j两列 是初等行(列)变换可以等价为左(右)乘初等矩阵。证毕。 定理一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。 证明必要性经过初等变换可以将一个满秩n阶矩阵(记为A)化为对角形,由初等 变换与乘初等矩阵的等价性,可知存在初等矩阵 ,P2,…P和Q1,Q2…,Q 使得P,PB2,…PAQ1,Q2,…Q=En,由于初等变换存在逆变换,于是可知用初等变换的逆 变换可以将单位矩阵化为满秩矩阵A,于是,存在n阶初等矩阵P',P2',…P'和1 1 0 1 1 ( , ) 1 1 0 1 1 n n n Pij      =   ， 有 11 12 1 11 12 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 l l j j jl i i il i i il j j jl n n nl n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                              =                             n nl 2 a                       ， 等价于初等行变换中互换 i，j 两行，而 11 1 1 1 11 1 1 1 21 2 2 2 21 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 j i n i j n j i n i j n m mj mi mn m mi a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                         =                      mj mn a a                       等价于初等列变换中互换 i，j 两列。 于是初等行（列）变换可以等价为左（右）乘初等矩阵。证毕。 定理 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。 证明 必要性 经过初等变换可以将一个满秩 n 阶矩阵（记为 A）化为对角形，由初等 变换与乘初等矩阵的等价性，可知存在初等矩阵 1 2 , , P P P s 和 1 2 , , , Q Q Qt ， 使得 1 2 1 2 , , , , , P P P AQ Q Q E s t n = ，由于初等变换存在逆变换，于是可知用初等变换的逆 变换可以将单位矩阵化为满秩矩阵 A，于是，存在 n 阶初等矩阵 1 2 ' ', ', ' P P P s 和