第8期 宋文龙等：基于小波变换的自适应阀值植物根系图像边缘检测 ·969· 像的，因此将尺度因子用二进制形式进行表示即s= 图像边缘检测的小波函数 2(∈Z),则式(10)可以写成 3自适应阀值边缘提取 WTf(x,y)] =s7f0,(x,y）=27f0,(x,y) 1WT2f(x,y）] 通过多尺度小波变换边缘提取可以得到图像在 多尺度变化下的边缘图像.如果对变换后的整幅图 (11) 因为梯度矢量取模的大小和小波变换后的模值 像使用同一个阀值，那么对强弱边缘同时存在的图 呈一定比例关系，求解梯度方向的模的极大值也就 像就可能有一些边缘被滤除掉，所以有必要采用一 种自适应阀值边缘提取算法对通过多尺度小波变换 是求解小波变换之后的模的极大值，因此检测二维 的小波变换的模的极大值可以检测到图像信号的边 后的图像进行边缘提取6) 缘点，而且通过选取不同的尺度，对图像进行小波变 设通过以上多尺度小波变换边缘检测方法得到 换可以得到不同的图像边缘信息，当变换尺度s较 原图像在各尺度下的Af(x,y)和Mf(x,y),求得 大的时候，信号f(x,y）与0，(x,y)的卷积可以消去 极值点即可以得到边缘图像族P(x,y）,然后采用 信号中变换较小的干扰，所以仅仅变化比较大的地 n×n的窗口，对边缘提取的图像族P2(x,y)进行扫 方可能被检测出来，这一特性刚好就是对小波分解 描，根据n×n的窗口内小波变换系数的变化，不断 中低频信号部分的检测.从而选取不同大小的s 调整阀值的大小，从而实现自适应阀值的调整功能， 计算公式为 值，可以得到对应尺度下图像边缘检测的结果，相当 于小波分解后对不同频率范围的信号的检测.通过 T=+a,于r (14) 选取适当的s值对图像进行小波变换，求解模极大 式(14)中，T是计算出的阀值，T是初始值，c 值曲线，然后将求解到的模极大值的点进行连接，最 是与扫描窗口相对应的小波系数，a。是比例系数，用 后得到的就是小波变换多尺度边缘检测的图像边缘 于控制当前尺度小波变换对阀值影响程度的大小 结果.则图像在x,y方向偏导分别为WTf(x,y)和 通过多次实验对各个尺度下生成的图像进行处理时 WTf(x,y),图像小波变换在尺度因子s=2(eZ) 选取T。=5和a。=0.001比较适合各个尺度下的图 上的模和梯度矢量与水平方向的相角可以表示为： 像.同时扫描窗口的大小对自适应阀值的调整也是 Mf(x,y)=√IWTf(x,y)I2+1WTfx,y）1F, 至关重要的.窗口小则无法去除噪声的影响，太大 (12) 则会将微弱边缘也滤除掉.通过实验和调整采用 rWTf（x,y)1 32×32的窗口较为合适 Af(x,y)=arctan (13) LWT2f(x,y）) 4多尺度边缘融合 图像小波变换在尺度因子上的模在方向 Af(x,y)上取得极大值的点即对应着图像发生突变 通过上述处理得到的P2(x,y)图像族可以提供 的点，从而通过A2f(x,y)和M2f(x,y）求得极值点 不同程度的图像边缘信息，因此继续通过图像融合 就求得了图像的边缘 的方法将这些图像族的处理结果进行融合，最终改 通过上面算法流程可以看出，在利用小波变换 善图像的边缘提取效果.P,(x,y)图像族边缘 进行图像边缘检测时，对所选取的小波函数性能直 融合的具体实现步骤如下. 接影响到图像最后边缘检测结果.然而可选用的小 (1)由于相邻尺度间的边缘位移不超过1个像 波变换函数的种类非常繁多，而且各自具有各自的 素，以尺度为得到的边缘图像中可能的边缘像素 优缺点，适合应用的场合也不同.虽然前面提到的 为坐标，在以尺度为j-1的边缘图像中以3×3的 选取不同的变换尺度s时小波变换相当于对图像进 窗口进行扫描，该范围内出现的点为可能的边缘点 行带通或者低通滤波，在一定程度上可以对图像的 若在以尺度为j-1的边缘图像中区域中心点不是 噪声进行滤波，但是同时一幅模糊的图像边缘也会 边缘像素，但该区域的边缘点少于两个，则保留j尺 因此而滤除.所以在进行图像边缘检测前应选取一 度下的边缘图像中的点，最后得到j-1尺度下边缘 个合适的小波基函数，使其在很好地去除图像噪声 图像中的边缘像素和非边缘像素 的同时又能够保留图像的模糊的边缘信息.由于高 (2)对在j-1尺度的边缘图像中的孤立点进 斯函数平滑图像不因信噪比而异，主要被用于阶梯 行除，最终得到j-1尺度的边缘图像 型边界提取中，所以文中选择高斯函数偏导数作为 (3)当尺度j=j-1,如果j>1则转到步骤(1)，第 8 期 宋文龙等: 基于小波变换的自适应阀值植物根系图像边缘检测 像的，因此将尺度因子用二进制形式进行表示即s = 2j ( j∈Z) ，则式( 10) 可以写成 WT1 s f( x，y) WT2 s [ ] f( x，y) = s Δ f·θs( x，y) = 2j Δ f·θs( x，y) ( 11) 因为梯度矢量取模的大小和小波变换后的模值 呈一定比例关系，求解梯度方向的模的极大值也就 是求解小波变换之后的模的极大值，因此检测二维 的小波变换的模的极大值可以检测到图像信号的边 缘点，而且通过选取不同的尺度，对图像进行小波变 换可以得到不同的图像边缘信息，当变换尺度 s 较 大的时候，信号 f( x，y) 与 θs ( x，y) 的卷积可以消去 信号中变换较小的干扰，所以仅仅变化比较大的地 方可能被检测出来，这一特性刚好就是对小波分解 中低频信号部分的检测． 从而选取不同大小的 s 值，可以得到对应尺度下图像边缘检测的结果，相当 于小波分解后对不同频率范围的信号的检测． 通过 选取适当的 s 值对图像进行小波变换，求解模极大 值曲线，然后将求解到的模极大值的点进行连接，最 后得到的就是小波变换多尺度边缘检测的图像边缘 结果． 则图像在 x，y 方向偏导分别为 WT1 s f( x，y) 和 WT2 s f( x，y) ，图像小波变换在尺度因子 s = 2j ( j∈Z) 上的模和梯度矢量与水平方向的相角可以表示为: M2jf( x，y) = | WT1 2jf( x，y) | 2 + | WT2 2 槡 jf( x，y) | 2 ， ( 12) A2jf( x，y) = [ arctan WT2 2jf( x，y) WT1 2jf( x，y ] ) ． ( 13) 图像 小 波 变 换 在 尺 度 因 子 上 的 模 在 方 向 A2jf( x，y) 上取得极大值的点即对应着图像发生突变 的点，从而通过 A2jf( x，y) 和 M2j f( x，y) 求得极值点 就求得了图像的边缘． 通过上面算法流程可以看出，在利用小波变换 进行图像边缘检测时，对所选取的小波函数性能直 接影响到图像最后边缘检测结果． 然而可选用的小 波变换函数的种类非常繁多，而且各自具有各自的 优缺点，适合应用的场合也不同． 虽然前面提到的 选取不同的变换尺度 s 时小波变换相当于对图像进 行带通或者低通滤波，在一定程度上可以对图像的 噪声进行滤波，但是同时一幅模糊的图像边缘也会 因此而滤除． 所以在进行图像边缘检测前应选取一 个合适的小波基函数，使其在很好地去除图像噪声 的同时又能够保留图像的模糊的边缘信息． 由于高 斯函数平滑图像不因信噪比而异，主要被用于阶梯 型边界提取中，所以文中选择高斯函数偏导数作为 图像边缘检测的小波函数． 3 自适应阀值边缘提取 通过多尺度小波变换边缘提取可以得到图像在 多尺度变化下的边缘图像． 如果对变换后的整幅图 像使用同一个阀值，那么对强弱边缘同时存在的图 像就可能有一些边缘被滤除掉，所以有必要采用一 种自适应阀值边缘提取算法对通过多尺度小波变换 后的图像进行边缘提取［6--8］． 设通过以上多尺度小波变换边缘检测方法得到 原图像在各尺度下的 A2j f( x，y) 和 M2j f( x，y) ，求得 极值点即可以得到边缘图像族 p2j ( x，y) ，然后采用 n × n 的窗口，对边缘提取的图像族 p2j( x，y) 进行扫 描，根据 n × n 的窗口内小波变换系数的变化，不断 调整阀值的大小，从而实现自适应阀值的调整功能， 计算公式为 T = T0 + a0 ∑i，j ci，j ． ( 14) 式( 14) 中，T 是计算出的阀值，T0是初始值，ci，j 是与扫描窗口相对应的小波系数，a0是比例系数，用 于控制当前尺度小波变换对阀值影响程度的大小． 通过多次实验对各个尺度下生成的图像进行处理时 选取 T0 = 5 和 a0 = 0. 001 比较适合各个尺度下的图 像． 同时扫描窗口的大小对自适应阀值的调整也是 至关重要的． 窗口小则无法去除噪声的影响，太大 则会将微弱边缘也滤除掉． 通过实验和调整采用 32 × 32 的窗口较为合适． 4 多尺度边缘融合 通过上述处理得到的 p2j( x，y) 图像族可以提供 不同程度的图像边缘信息，因此继续通过图像融合 的方法将这些图像族的处理结果进行融合，最终改 善图像的边缘提取效果［9--11］． p2j( x，y) 图像族边缘 融合的具体实现步骤如下． ( 1) 由于相邻尺度间的边缘位移不超过 1 个像 素，以尺度为 j 得到的边缘图像中可能的边缘像素 为坐标，在以尺度为 j － 1 的边缘图像中以 3 × 3 的 窗口进行扫描，该范围内出现的点为可能的边缘点． 若在以尺度为 j － 1 的边缘图像中区域中心点不是 边缘像素，但该区域的边缘点少于两个，则保留 j 尺 度下的边缘图像中的点，最后得到 j － 1 尺度下边缘 图像中的边缘像素和非边缘像素． ( 2) 对在 j － 1 尺度的边缘图像中的孤立点进 行滤除，最终得到 j － 1 尺度的边缘图像． ( 3) 当尺度 j = j － 1，如果 j ＞ 1 则转到步骤( 1) ， ·969·