定理:设实二次型f=xAx的秩为r,有两个实可逆变换:x=cy及x=py 使f=ky2+k2y2+…+ky2(k1≠0,i=1,…,r) 及∫=y21+2y2+…+,y2(λ,≠0,i=1,…r) 则 与λ1.2,…,λ,中所含正数的个数相等。 (注:证明略。仅由前面的实例加以说明。) (3)二次型f=xAx其标准型可分以下几种情形。 ①f=ky1+ky2+…+ky。(k>0,r=n,i=1,…,n)……正定二次型 ②f=ky1+ky2+…+ky:(k>0,r<n,i=1,…,r)……半正定二次型 ③f=-ky2-ky2-…-ky。(k>0,r=n,i=1,…,n)……负定二次型 ④f=-ky2-ky2-…-ky2(k>0,r<n,i=1,…,r)…半负定二次型 ⑤f=ky21+…+ky2(k为任意实数,r≤ni=1,…,n)…没有正定性 注:引导学生对每种情形自己给出命名,并思考如何用数学语言来定义正定性等概念 2正定二次型、正定矩阵的定义: 定义:设实二次型f=x2A ①若对任何X≠0有:f(x)=xAx>0(或<0) 则称∫为正(或负)定二次型、矩阵A为正(或负)定矩阵 ②若对任何x≠0有:∫(x)=xAx≥0(或≤0) 则称∫为半正(半负)是二次型、矩阵A为半正(或半负)定矩阵 3如何来判断二次型及矩阵的正定性呢? 对于二次型f(x)=xAx的正定性的判断均可归结为对实对称矩阵A的正定性的判 断,那么,已知实对称矩阵A,如何来判断A的正定性呢?我们给出以下几个等价条件: 定理:设A为n阶实对称矩阵,则以下说法等价: ①矩阵A是正定性的 ②对任何x≠0有:f(x)=xAx>0 ③A的特征值全大于0 ④存在满秩矩阵U,使A=UU ⑤A的所有前主子式均大于0 (注:(1)引导学生给出为负定矩阵的几个等阶条件。 (2)等价条件⑤即为霍尔维兹定理加以说明,尤其是当A为负定时的) 4.举例 例1判断A=123的正定性 136 f(x)=xAx=x2+2x2+6x2+2x1x2+2x1x2+6x2x3 1+x2+x3)2+(x2+2x3)2+x3 A为的正定性定理：设实二次型 ƒ = x T Ax 的秩为 r， 有两个实可逆变换: x=cy 及 x=py 使 ƒ = k1y 2 1 + k2y 2 2 + … +kry 2 r (ki  0, i=1, …,r) 及 ƒ = 1 y 2 1 +  2 y 2 2+ … +  r y 2 r ( i  0, i=1, …,r) 则： k1, k2,…, kr 与 1 ,  2 , … , r 中所含正数的个数相等。 ( 注：证明略。仅由前面的实例加以说明。) （3）二次型 ƒ = x T Ax 其标准型可分以下几种情形。 ①ƒ = k1y 2 1 + k2y 2 2 + … +kny 2 n (ki>0,r=n, i=1,…,n)……正定二次型 ②ƒ = k1y 2 1 + k2y 2 2 + … +kry 2 r (ki>0,r<n, i=1,…,r)……半正定二次型 ③ƒ = -k1y 2 1- k2y 2 2 - … -kny 2 n (ki>0,r=n, i=1,…,n)……负定二次型 ④ƒ = -k1y 2 1- k2y 2 2 - … -kry 2 r (ki>0,r<n, i=1,…,r)……半负定二次型 ⑤ƒ = k1y 2 1 + … +kry 2 r (ki为任意实数,r  n i=1,…,n)……没有正定性 注：引导学生对每种情形自己给出命名，并思考如何用数学语言来定义正定性等概念。 2.正定二次型、正定矩阵的定义： 定义：设实二次型 ƒ = x T Ax ①若对任何 x≠0 有：ƒ(x)= x T Ax > 0 (或< 0) 则称 ƒ 为正（或负）定二次型、矩阵 A 为正（或负）定矩阵。 ②若对任何 x≠0 有：ƒ(x)= x T Ax  0 (或  0) 则称 ƒ 为半正（半负）是二次型、矩阵 A 为半正（或半负）定矩阵。 3.如何来判断二次型及矩阵的正定性呢？ 对于二次型 ƒ(x)= x T Ax 的正定性的判断均可归结为对实对称矩阵 A 的正定性的判 断，那么，已知实对称矩阵 A，如何来判断 A 的正定性呢？我们给出以下几个等价条件： 定理：设 A 为 n 阶实对称矩阵，则以下说法等价： ①矩阵 A 是正定性的. ②对任何 x≠0 有：ƒ(x)= x T Ax > 0 ③ A 的特征值全大于 0 ④存在满秩矩阵 U,使 A = UT U ⑤ A 的所有前主子式均大于 0 (注：（1）引导学生给出 为负定矩阵的几个等阶条件。 （2）等价条件⑤即为霍尔维兹定理加以说明，尤其是当 A 为负定时的) 4.举例： 例 1 判断 A =           1 3 6 1 2 3 1 1 1 的正定性 “解一”:  ƒ(x)= x T Ax = x1 2 +2x2 2 +6x3 2 +2x1x2 +2x1x3 +6x2x3 = (x1+x2+x3) 2 + (x2+2x3) 2 +x2 3  A 为的正定性