《高等数学》上册教案第一章函数与极限 函数极限的定义，则 mf)=A:6>0,36>0,当0<-x<6时，/)-<e: m/)=A:6>0,38>0,当0<x-,<d时，/)-<6： mf)=A:6>0,36,>0,当0<-x<d时，()-A<6: 取6=mim{6,,62},则当0<x-x<6(0<x-x,<6,0<x-x<6)时，f(x)-<e。 定理、函数在一点极限存在的充分必要条件是在这一点的左右极限存在并且相等，即 mf)=A台imf)=imf)=A 由定理可知，以上前两例中的极限均不存在，而第三例的极限存在 [x+ax≤1 例5、观案高线){货问四因光百存在？ :右效限：职-册号册动号 1 左极限：mf)=mc+a)=l+a 根据左右极限与函载极限的关系，只有当1+口分，即口=}时。极限存在，并且有 )=若a极限则不存在。 三、函数极限的若干定理 定理1、（局部保号性定理）若极限1mfx)=A>0（A<0),则存在x,的一个6邻城 N,d),当x∈No,8)时，有fx)>0(fx)<0)。 证：由于immf)=A>0,由定义：e>0,38>0,当0<k-xl<6时，/x)-<e。 国为e是任意小的正数，不妨设E<A,则当0<k-xo<6即xeN(民。，)时，有f(x)-A<c, 即A-E<f)<A+E:从而可以得到：f(x)>A-E>0 注：事实上取E=,还可以得到更强的结论：若m)=A（40),则存在。的去 心邻城U),当xeU)时，有1fbl。 定理2、对于茉个8>0，设x∈N(住，)时，且有f)20(orf)≤0)，imf)=A,则 必有A≥0(orA≤0)。 第10页一共38页 需永会