第6章保形映照 本章从几何方面讨论解析函数的性质复变函数w=f()将z平面上的点集D映照或 变换为w平面上的点集G=f(D),因此几何上复变函数也称为复映照,解析函数称为解析映 照.通过解析映照常常可以把比较复杂的区域变换为比较简单的区域,从而使问题得到简 化 本章从解析函数的导数的几何意义引出保形映照的概念,着重讨论常用的分式线性函 数所构成的保形映照的特性 6.1导数的几何意义及保形映照的概念 6.1.1曲线的切向量 设C为平面上的一条简单光滑曲线,参数方程为:x=x(),y=y(1)(a≤t≤B).曲线C 上对应于参数t的点的切线向量为:{x(t),y()} 在复平面上,曲线C可表示为 从而二()=x(1)+()表示曲线C上x()点的切线向量,angx(1)表示C在x()处的切线 向量的幅角 6.1.2导数的几何意义 设w=f(=)是区域D内的解析函数,a∈D,10=f(-0)且f(=0)≠0.考虑D内过=0的 一条简单光滑曲线C (r)=x(t)+iy(t)(a≤t≤B,=(0)==0) 显然,函数w=f(z)把简单光滑曲线C映照成过w=f(z0)的一条简单曲线r w=f(z(t)(a≤t≤B) 因为()=f(()=(),可见r也是一条光滑曲线它在点v的切线与实轴的夹角是 arg(f(=0)2(0)=argf(=0)+arg(t0) 于是有 argf(=0)=arg(f(-0)-()-arg(0) 故argf(=0)表示:曲线C在点的切线在w=f()的映照下转动的角度即曲线C在 f()的映照下在0处的转动角这一数值与曲线C的形状及方向无关 设在D内过=还有一条简单光滑曲线C1:z=z1(1).函数w=f()把它映照成为一条简 单光滑曲线I1:w=f(=1(1),同样的,C1及在=0及1处切线与实轴的夹角分别是 arg=()5 argL((Lo))=(o)]=argf (=o)+arg=(o) argtf(=1()(4)-agf(=()x(=agx(n)-agz(4), 等式的左端为r与在处切线的夹角也就是r与T1的夹角;等式的右端为C与C1 在二0处切线的夹角,也就是曲线C与C1的夹角因此上式说明:用解析函数w=f(=)第 6 章 保形映照 本章从几何方面讨论解析函数的性质.复变函数 w fz = ( )将 平面上的点集 映照或 变换为 平面上的点集 ,因此几何上复变函数也称为复映照，解析函数称为解析映 照.通过解析映照常常可以把比较复杂的区域变换为比较简单的区域，从而使问题得到简 化.. z D w G fD = ( ) 本章从解析函数的导数的几何意义引出保形映照的概念，着重讨论常用的分式线性函 数所构成的保形映照的特性. 6.1 导数的几何意义及保形映照的概念 6.1.1 曲线的切向量 设C 为平面上的一条简单光滑曲线，参数方程为：x = x t( ) ，y yt = ( ) (α ≤ ≤t β ).曲线C 上对应于参数t 的点的切线向量为： ' ' { ( ), ( )} x t yt . 在复平面上，曲线 可表示为 C z t x t iy t () () () = + . 从而 '' ' z () () () t x t iy t = + 表示曲线C 上 点的切线向量， z t( ) ' arg ( ) z t 表示 C 在 处的切线 向量的幅角. z t( ) 6.1.2 导数的几何意义 设 是区域 内的解析函数， w fz = ( ) D 0 z D ∈ ， 0 0 w fz = ( ) 且 ' 0 f z() 0 ≠ .考虑 内过 的 一条简单光滑曲线 ： D 0 z C z t x t iy t () () () = + (α ≤ t ≤ β ， 0 zt z ( ) = 0 ). 显然，函数w=f(z)把简单光滑曲线C映照成过w0=f(z0)的一条简单曲线Γ： w=f(z(t)) (α≤t≤β). 因为 w t f zt z t ''' ( ) ( ( )) ( ) = ，可见Γ 也是一条光滑曲线.它在点 w0 的切线与实轴的夹角是 '' ' ' 0 0 0 0 arg( ( ) ( )) arg ( ) arg ( ) f z zt f z zt = + ， 于是有 ' '' 0 00 arg ( ) arg( ( ) ( )) arg ( ) ' 0 f z f z zt z = − t . 故 ' 0 arg ( ) f z 表示：曲线 在 点的切线在 C 0 z w fz = ( )的映照下转动的角度即曲线C 在 w fz = ( )的映照下在 z0 处的转动角.这一数值与曲线C 的形状及方向无关. 设在 内过 还有一条简单光滑曲线 ： D 0 z C1 1 z zt = ( ) .函数 w fz = ( )把它映照成为一条简 单光滑曲线 ：Γ1 1 w fzt = ( ( )) ，同样的， 及C1 Γ1在 及 处切线与实轴的夹角分别是 0 z w0 ' 1 0 arg ( ) z t 与 '' ' ' 10 10 0 10 arg[ ( ( )) ( )] arg ( ) arg ( ) f zt zt f z zt = + . 于是 ' ' '' ' ' 10 10 0 0 10 0 arg[ ( ( )) ( )] arg[ ( ( )) ( )] arg ( ) arg ( ) f z t z t f zt z t z t z t − =− ， 等式的左端为Γ 与 在 处切线的夹角也就是 Γ1 w0 Γ 与Γ1的夹角；等式的右端为C 与 在 处切线的夹角，也就是曲线 与 的夹角.因此上式说明：用解析函数 C1 0 z C C1 w f = (z)