(f()≠0)作映照时,曲线间的夹角的大小及方向保持不变这一性质称为解析映照的保角 性. 下面再说明解析函数导数的模的几何意义,由导数的定义 ∫(=。)|=lim J(=)-f(=0) 因而f(=0)可以近似表示比值 (=)-f(=0) 在w=f()所作映照下,|z-=01及 f()-f(=0)分别表示二平面上向量z-及w平面向量f(x)-f(=0)的长度.当|=-=0|较小 时,|f(x)-f(=0)近似表示经过映照后,1f(x)-f(=)关于|-=01的伸缩倍数,而且这 倍数与向量x-=0的方向无关.因此我们把|∫(=0)|称为映照在点=0的伸缩率 6.1.3保形映照的概念 现在用几何直观来说明解析映照的意义 设w=f()是在D内解析的函数,=∈D,m0=f(=),∫(=0)≠0,则w=f(z)把=0的 小邻域内任一小三角形映照为含w的一个区域内的曲边三角形.这两个三角形对应角相 等,对应边近似地成比例因此这两个三角形近似地是相似形.另外,w=f()还把半径充分 小的圆|二-=}r近似地映照成圆|-mHf(二a)|r 由以上分析,称解析函数w=f()(∫(xa)≠0)所确定的映照为保形映照,也称为共形 映照或保角映射.这种映照的特点是把z平面上的区域变换为w平面上的区域,在实施变换 的每一点上具有保角性 6.2分式线性函数及其映照性质 6.2.1分式线性函数 线性函数是复变函数论及其应用中经常用到的工具,在保形映照的一般理论以及某些 简单区域的保形映照中都要应用到它 定义6.1形如 (6.1) 的函数称为分式线性函数其中ad-bc≠0,a,b,c及d是复常数 由于ad-bc≠0,所以=如-bc≠0,从而函数(6.1)不恒等于常数 dz(c+d 函数(6.1)的反函数为 (6.2) 因为(-d)(-a)-bc=ad-bc≠0,所以函数(6.2)亦为分式线性函数 显然,当c=0时,函数(6.1)为z平面的解析函数,函数(6.2)为w平面的解析函数且 两个函数的导数均恒不为零当c≠0时,函数(6.1)在=平面上除去d外处处解析且导数( )作映照时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变.这一性质称为解析映照的保角 性. ' f z() 0 ≠ 下面再说明解析函数导数的模的几何意义，由导数的定义： ' ( ) ( ) 0 | () f z | = 0 0 0 mz z f li z fz → z z − − | , ( ) ( ) 0 0 zz zfzf − − 因而 ' 0 | () f z 可以近似表示比值 .在 w fz = ( )所作映照下， 及0 | | z z − 0 | ( ) ( )| f z fz − 分别表示 平面上向量 z 0 z z − 及 平面向量 w 0 f () ( ) z fz − 的长度.当 较小 时， 0 | z z − | | ' ' 0 | () ( ) f z fz − 近似表示经过映照后， 0 | ( ) ( )| f z fz − 关于 0 | z z − | 的伸缩倍数，而且这一 倍数与向量 的方向无关.因此我们把 | 0 z z − ' 0 | () f z 称为映照在点 z0 的伸缩率. 6.1.3 保形映照的概念 现在用几何直观来说明解析映照的意义. 设 是在 内解析的函数， w fz = ( ) D 0 z D ∈ ， 0 0 w fz = ( ) ， ' 0 f z() 0 ≠ ，则 把 的 一小邻域内任一小三角形映照为含 的一个区域内的曲边三角形.这两个三角形对应角相 等，对应边近似地成比例.因此这两个三角形近似地是相似形.另外， w fz = ( ) 0 z w0 w fz = ( )还把半径充分 小的圆 近似地映照成圆 | | zz r − = 0 . ' 0 0 | || ( ) ww fz r − = | 由以上分析，称解析函数 w fz = ( ) ( ' 0 f z() 0 ≠ )所确定的映照为保形映照，也称为共形 映照或保角映射.这种映照的特点是把 平面上的区域变换为 平面上的区域，在实施变换 的每一点上具有保角性. z w 6.2 分式线性函数及其映照性质 6.2.1 分式线性函数 线性函数是复变函数论及其应用中经常用到的工具，在保形映照的一般理论以及某些 简单区域的保形映照中都要应用到它. 定义 6.1 形如 az b w cz d + = + (6.1) 的函数称为分式线性函数.其中 ad bc − ≠ 0 ， 及 abc , , d 是复常数. 由于 ，所以 ad bc − ≠ 0 ( )2 0 d ad bc dz cz d ω − = + ≠ ，从而函数(6.1)不恒等于常数. 函数(6.1)的反函数为 d b z c a ω ω − + = − ， (6.2) 因为( )( ) − −− = − ≠ d a bc ad bc 0 ，所以函数(6.2)亦为分式线性函数. 显然，当 时，函数(6.1)为 平面的解析函数，函数(6.2)为 平面的解析函数且 两个函数的导数均恒不为零.当 时，函数(6.1)在 平面上除去 c = 0 z w c ≠ 0 z d c − 外处处解析且导数