不为零;函数(6.2)在w平面上除去一外处处解析且导数不为零.从而由分式线性函数(6.1) 确定的映照在去掉z=--的区域内为保形映照.对函数(6.2)也有类似结论 在扩充的复平面上,当c=0时,我们视函数(6.1)及函数(6.2)分别把z=∞与w=∞映 照成w=∞与z 当c≠0时,我们视函数(6.1)把z=-—映照成w=∞,把z=∞映照成 P=.而函数(6.2)分别把=但与w=映照成z=m与:=-2.于是函数(.1)与函数(6.2) 在扩充z平面与扩充v平面之间确立了一一对应的映照 若f(=0)=∞,则t f()=0,规定若t=1把=的一个邻域保形映照为t=0的 个邻域,则称w=f()把z=z的一个邻域保形映照成w=∞的一个邻域对函数 Wp=a+b 取 c,则由1=c+d 在=点的解析性及 ≠0可知 c+d Oa十 的充分小邻域保形映照为t=-=0的一个邻域,于是函数(6.1)在扩充 平面与扩充γ平面之间建立了保形映照 般地,分式线性函数(6.1)可视为由下列四种简单函数复合而得: 1°=z+a,其中a为一复数 2°w=e",其中θ为一实数 3°w=r,其中r为一正实数; 实际上,当c=0时,函数(6.1)可表示为 当c≠0时,函数(6.1)可表示为 a+b a bc-ad c+d c 把z平面和w平面叠合在一起,我们讨论上述四种简单函数的映照性质 1°w=z+a 令二=x+,w=+n,a=a+ib,则有u=x+a,v=y+b.于是w=z+a确定了一个平 因为e"=cos+isin,z=|-l( casar=+ IsInarg=)所以 w"=e"z==|( cos(arg=+O)+isin(argz+O),w的模与z的模相同,而v的辐角是z的辐角加 θ,故w=e-确定了一个旋转.不为零；函数(6.2)在 w 平面上除去 c a 外处处解析且导数不为零.从而由分式线性函数(6.1) 确定的映照在去掉 d z c = − 的区域内为保形映照.对函数(6.2)也有类似结论. 在扩充的复平面上，当c = 0 时，我们视函数(6.1)及函数(6.2)分别把 z = ∞ 与 w = ∞ 映 照成 与 ；当 w = ∞ z = ∞ c ≠ 0时，我们视函数(6.1)把 d z c = − 映照成 w = ∞ ，把 映照成 z = ∞ a w c = .而函数(6.2)分别把 a w c = 与 w = ∞ 映照成 z = ∞ 与 d z c = − .于是函数(6.1)与函数(6.2) 在扩充 平面与扩充 z w 平面之间确立了一一对应的映照. 若 ，则 0 f z( ) = ∞ ( ) 0 0 1 t 0 f z = = .规定若 ( ) 1 t f z = 把 0 z z = 的一个邻域保形映照为 的 一个邻域，则称 把 的一个邻域保形映照成 t = 0 w fz = ( ) 0 z z = w = ∞ 的一个邻域.对函数 az b w cz d + = + ，取 0 d z c = − ，则由 1 cz d ω az b + = + 在 点的解析性及 0 z 0 1 0 ω z z = = ， 0 1 0 z z ω = ′ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ≠ ⎝ ⎠ 可知 1 cz d ω az b + = + 把 0 d z c = − 的充分小邻域保形映照为 1 t ω = =0 的一个邻域，于是函数(6.1)在扩充 平面与扩充 平面之间建立了保形映照. z w 一般地，分式线性函数(6.1)可视为由下列四种简单函数复合而得： 1° w z = +α ， 其中 a 为一复数； 2° i w ez θ = ，其中θ 为一实数； 3° w rz = ， 其中 r 为一正实数； 4° 1 w z = . 实际上，当c = 0 时，函数(6.1)可表示为 az b a b w z dd a + ⎛ ⎞ = =+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 当c ≠ 0时，函数(6.1)可表示为 2 az b a bc ad w cz d c d c z c + − = =+ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ . 把 平面和 z w 平面叠合在一起，我们讨论上述四种简单函数的映照性质. 1° w z = +α . 令 z = +x iy , w u iv = + ,α = + a ib ，则有u xa = + , v yb = + .于是 w z = +α 确定了一个平 移. 2° i w ez θ = . 因为 cos sin i e i θ = + θ θ ， z z zi z = + | | (cosarg sin arg ) 所以 | | (cos(arg ) sin(arg )) i w ez z z i z θ = = ++ + θ θ ， 的模与 的模相同，而 的辐角是 的辐角加 w z w z θ ，故 i w ez θ = 确定了一个旋转. 3° w rz =