显然w与z的辐角相同,而模为z的模的r倍,故w=r确定了一个以原点为心的相似 映照 例如:平面上以0,22为顶点的长方形,经过保形映照 v=2(1+i)2+(2-1), 变换成w平面上以2-i,3,i,1+2i为顶点的长方形,其变换过程如图6.2 在讨论=-的映照性质之前,我们先引进一个定义,设已给圆C:|z-=0=R (0<R<+∞),若有限点及z2在过=0的同一射线上,并且|1--0=2-=0=R2,那么我们说1 及z2是关于圆C的对称点,我们还称=与∞对称 映照w=-可视为下列两个映照复合而成 显然,w=三确定关于实轴的对称映照,而=将映照为三,其辐角与:相同 arg==-arg==arg= 模1=H上=1,即有1=1==1,从而,=关于单位圆|=1对称故=由关于单位圆对 称的映照x1=和关于实轴的对称映照w=叠合而得 6.2.2分式线性函数的映照性质 下面讨论一般分式线性函数的映照性质.约定把扩充复平面上任一直线看成半径为无 穷大的圆 定理6.1在扩充复平面上,分式线性函数把圆映照成为圆.(分式线性函数的保圆性) 证明上一段已知分式线性函数所确定的映照,是由平移、旋转、相似映照及函数v=1 所确定的映照组成的,前三种映照显然把圆映照成为圆,因而只须证明w=-也把圆映照成 为圆 圆的一般方程为 a(x2+y2)+bx+cy+d=0(a=0时蜕化为直线).(6.3) 若令:=x+y,则有x2+y2=三,x=,y=三,代入式(6.3)中即得圆的复数表示 Bx+B+d=0,(6.4)显然 与 的辐角相同，而模为 的模的 倍，故 w z z r w rz = 确定了一个以原点为心的相似 映照. 例如： 平面上以 ， z 0 2 1 ， ，i 1 2 + i 为顶点的长方形，经过保形映照 w iz = + +− 2(1 ) (2 )i ， 变换成 w 平面上以 ， 2 − i 3 , ,i 1+ 2i 为顶点的长方形，其变换过程如图 6.2. 4° 1 w z = . 在讨论 1 w z = 的映照性质之前，我们先引进一个定义，设已给圆 ：C 0 | | zz R − = ( 0 < < +∞ R ),若有限点 z1及 在过 的同一射线上，并且 2 z 0 z 2 1 02 0 | || | z − zz z R − = ，那么我们说 及 是关于圆 的对称点，我们还称 与∞对称. 1z 2 z C 0 z 映照 1 w z = 可视为下列两个映照复合而成： 1 1 z z = ， w z = 1 . 显然， w z = 1 确定关于实轴的对称映照，而 1 1 z z = 将 映照为 ，其辐角与 z z1 z 相同： 1 arg arg arg z =− =z z ， 模 1 1 1 | || | | | z z z = = ，即有 ，从而 | || | 1 z z 1 = z ， 关于单位圆 1z | |1 z = 对称.故 1 w z = 由关于单位圆对 称的映照 1 1 z z = 和关于实轴的对称映照 w z = 1 叠合而得. 6.2.2 分式线性函数的映照性质 下面讨论一般分式线性函数的映照性质.约定把扩充复平面上任一直线看成半径为无 穷大的圆. 定理 6.1 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映照成为圆.(分式线性函数的保圆性) 证明 上一段已知分式线性函数所确定的映照，是由平移、旋转、相似映照及函数 1 w z = 所确定的映照组成的，前三种映照显然把圆映照成为圆，因而只须证明 1 w z = 也把圆映照成 为圆. 圆的一般方程为 2 2 a x y bx cy d ( ) + + + += 0 ( a = 0 时蜕化为直线). (6.3) 若令 z = +x iy ，则有 2 2 x + = y zz ， 2 z z x + = ， 2 z z y i − = ，代入式(6.3)中即得圆的复数表示： azz z z d + + += β β 0 ， (6.4)