其中abcd是实常数,B=1(b+1)是复常数将=1代入式(6.4得 doo+ Bo+Bo+a=0 dx2+y2)+bm-c+a=0(m=+) 表示w平面上的圆(d=0时,表示一条直线),故w=-将圆映照成圆. 设分式线性函数(6.1)把扩充z平面上的圆C映照成扩充w平面上的圆C,C与C分 别把扩充z平面及扩充w平面分成不相交的两部分,从而函数(6.1)把z平面上以C为边界 的两部分,分别映照为w平面上以C为边界的两部分.那么,C的“内部”究竟映照成C的 内部”还是映照成C的“外部”呢?这可由不在圆上的任一点的映照来确定.如若圆C及C 的半径都是有限的,而函数(6.1)在C的内部有极点,那么它把圆C的内部映照成为圆C的 外部(因为它把极点映照为w平面上的无穷远点):反之若函数(6.1)的极点(z=--)在C的 外部,那么它把圆C的内部映照成圆C的内部 定理6.1说明分式线性函数把扩充z平面上的圆映照成为扩充w平面上的圆,那么在 扩充z平面及扩充w平面上分别取定一圆C及C,是否可以找到一个分式线性函数,它把 映照成C? 定理62对于扩充二平面上任意三个不同的点,x23以及扩充v平面上任意三个不 同的点,2,m3,在唯一的分式线性函数,把z1,z2,3分别映照成n,m2,n3 证分两种情形 给定各点都是有限点 设所求分式线性函数为 b 则由 =+b (k=1,2,3),(6.5) 算出w-1,w-w2,n-1,w3-2消去a,b,c,d即得 )3-01 (6.6) 由式(6.6)即可解出所求的分式线性函数,又求此函数时,只要求它满足式(6.5),所 以它是把x1,23分别映照成w1,2,W3的唯一的分式线性函数 2°给定各点中含无穷远点 不妨设2=∞,其它点为有限点,将w3=∞换成任一有限点3,我们仍可得出式(6.6) 再令n3→∞,即得其中 是实常数， abcd ,,, 1 ( 2 β = +b ic)是复常数. 将 1 z ω = 代入式(6.4)得 d a ωω βω βω + + += 0 , 即 2 2 d u v bu cv a ( ) + + − += 0 ( w u iv = + ) 表示 平面上的圆( 时,表示一条直线)，故 w d = 0 1 w z = 将圆映照成圆. 设分式线性函数(6.1)把扩充 平面上的圆 映照成扩充 平面上的圆 ， 与 分 别把扩充 平面及扩充 平面分成不相交的两部分，从而函数(6.1)把 平面上以 为边界 的两部分，分别映照为 平面上以 为边界的两部分.那么，C 的“内部”究竟映照成 的 “内部”还是映照成 的“外部”呢?这可由不在圆上的任一点的映照来确定.如若圆 及 的半径都是有限的，而函数(6.1)在 的内部有极点，那么它把圆 的内部映照成为圆 的 外部(因为它把极点映照为 平面上的无穷远点)；反之若函数(6.1)的极点( z C w ' C C ' C z w z C w ' C ' C ' C C ' C C C ' C w d z c = − )在 的 外部，那么它把圆 的内部映照成圆 的内部. C C ' C 定理 6.1 说明分式线性函数把扩充 平面上的圆映照成为扩充 平面上的圆，那么在 扩充 平面及扩充 平面上分别取定一圆C 及 ，是否可以找到一个分式线性函数，它把C 映照成 ? z w z w ' C ' C 定理 6.2 对于扩充 平面上任意三个不同的点 以及扩充 平面上任意三个不 同的点 ,在唯一的分式线性函数，把 分别映照成 . z 123 zz z , , w 123 www , , 123 zz z , , 123 www , , 证 分两种情形 1° 给定各点都是有限点 设所求分式线性函数为 az b w cz d + = + ， 则由 k k k az b w cz d + = + (k=1，2，3)， (6.5) 算出 w ww ww ww w −− − − 1 23 13 ,, , 2 消去 即得 abcd ,,, 2 1 ωω ω ω − − ∶ 23 13 ωω ω ω − − = 2 1 zz zz − − ∶ 23 13 zz zz − − . (6.6) 由式(6.6)即可解出所求的分式线性函数，又求此函数时，只要求它满足式(6.5)，所 以它是把 分别映照成 zz z 123 , , www 123 , , 的唯一的分式线性函数. 2° 给定各点中含无穷远点. 不妨设 ，其它点为有限点，将 w3 = ∞ w3 = ∞ 换成任一有限点 ，我们仍可得出式(6.6)， 再令 ，即得 ' w3 ' w3 → ∞ 2 1 ωω ω ω − − = 2 1 zz zz − − ∶ 23 13 zz zz − −