由此可解出所求函数.同理可证其它点为无穷远点的情形. 在z平面及平面上分别取定圆C及C.在C及C上分别选不同的三点x,z2,=3及 w,w2,n3.由定理6.2,存在唯一的分式线性函数,把x1,2,3分别映照成n,2,m3,从而把圆 C映照成圆C.故有以下定理 定理6.3扩充z平面上任何一个圆,可以用一个分式线性函数映照成扩充w平面上任何 上一段,我们已定义了关于圆对称的点.分式线性函数把圆映照成圆,那么分式线性函 数是否将z平面关于圆C对称的点映照成w平面上关于圆C对称的点(C为圆C的“像”)? 先来看对称点的一个基本性质 引理两点z1及z2是关于圆C的对称点的必要与充分条件是:通过z1及2的任何圆与 圆C正交 证明从略. 由此引理即可回答上面提出的问题. 定理6.4若分式线性函数把z平面上的圆映照成w平面上的圆C,那么它把关于圆C 对称的点及z2映照成关于圆C对称的点w1及n2 证过w及w2的任何圆是由过=及z2的圆映照而得的由引理,过z及z2的任何圆与圆C 正交,从而由分式线性函数的保角性,过及n2的任何圆与圆C正交,从而及2关于C 为对称 例61求把z平面上的点x1=1,z2=1,3=-1分别映照为w平面的点w1=-1,W2=i, W3=1的分式线性函数 解由式(6.6)有 解得 此即所求的分式线性函数 例6.2考虑如果分式线性函数 --1 的映照结果为圆丨w丨=R,那么映照前z平面上的图形是什么呢?显然,该映照把z1及z2映照成 为关于圆=R的对称点0及∞,且把扩充z平面上的曲线 映照成为|w}=R,则由定理6.1及定理6.2知曲线C R表示z平面上的一个圆 1及z2是关于圆C的两个对称点 6.3分式线性函数的应用由此可解出所求函数.同理可证其它点为无穷远点的情形. 在 平面及 平面上分别取定圆C 及 .在 及 上分别选不同的三点 及 .由定理 6.2，存在唯一的分式线性函数，把 分别映照成 ，从而把圆 映照成圆 .故有以下定理. z w ' C C ' C 123 zz z , , 123 www , , 123 zz z , , 123 www , , C ' C 定理 6.3 扩充 平面上任何一个圆，可以用一个分式线性函数映照成扩充 平面上任何一 个圆. z w 上一段，我们已定义了关于圆对称的点.分式线性函数把圆映照成圆，那么分式线性函 数是否将 平面关于圆 对称的点映照成 平面上关于圆 对称的点( 为圆 的“像”)? 先来看对称点的一个基本性质. z C w ' C ' C C 引理 两点 及 是关于圆 的对称点的必要与充分条件是：通过 及 的任何圆与 圆 正交. 1z 2 z C 1z 2 z C 证明从略. 由此引理即可回答上面提出的问题. 定理 6.4 若分式线性函数把 平面上的圆映照成 平面上的圆 ，那么它把关于圆C 对称的点 及 映照成关于圆 对称的点 及 . z w ' C 1 2 1 2 1 2 1 2 i z z ' C w w 证 过 及 的任何圆是由过 及 的圆映照而得的.由引理，过 及 的任何圆与圆C 正交，从而由分式线性函数的保角性，过 及 的任何圆与圆 正交，从而 及 关于 为对称. w1 w2 1z 2 z 1z 2 z w w ' C w w ' C 例 6.1 求把 z 平面上的点 , 1z =1 2 z = ， 3 z = −1分别映照为 平面的点 ， ， 的分式线性函数. w 1 w = −1 w i 2 = 3 w =1 解 由式(6.6)有 − i + ω ω 1 ∶ − i + 1 11 = iz z − −1 ∶ − − i − − 1 11 ， 解得 1 w z = − . 此即所求的分式线性函数. 例 6.2 考虑如果分式线性函数 1 2 z z w z z − = − 的映照结果为圆｜w｜=R，那么映照前z平面上的图形是什么呢?显然，该映照把z1及z2映照成 为关于圆 的对称点 0 及∞，且把扩充 平面上的曲线 | | w R = z 1 2 z z R z z − = − 映照成为 ，则由定理 6.1 及定理 6.2 知曲线 ： | | w R = C 1 2 z z R z z − = − 表示 平面上的一个圆， 及 是关于圆C 的两个对称点. z 1z 2 z 6.3 分式线性函数的应用