由于分式线性函数确定的映照的保圆性和保对称性,在作以圆弧或直线为边界的区域的 保形映照时,分式线性函数起着很重要的作用,本节通过几个具体例子说明这一点 例6.3求证把上半平面Im(x)>0保形映照为上半平面Im()>0的分式线性映照一定可以 表示为 其中a,b,c,d为实数且满足ad-bc>0 证要把Im(z)=0映照为w平面的实轴Im()=0.因而,zz平面实轴上的三点x1x2,x3 必与w平面实轴上的三点4,2,l3相对应:即欲求分式线性函数满足 解得 -+d 因为x,x,x及1n2,n3均为实数,所以a,b,c,d为实数.又 Im(w)-2i 1 a+b a+b. ad-bc =-2 ad-bc lm(),从而,当Im()>0时要 2i c+d 2 使Im()>0必须有ad-bc>0 故把上半平面Im()>0映照为上半平面Im()>0的分式线性函数必具有以下形式 其中a,b,c,d为实数且 例64试求把上半平面Im(x)>0保形映照成圆盘|vk1的分式线性函数 解满足要求的分式线性函数首先应把Im()=0映照成|=1,其次应把上半平面Im()>0 内某一点z映照成w=0.因为分式线性函数把关于实轴Im(x)=0对称的点映照成关于圆 v=1对称的点,而w=0与w=∞关于|w=1对称,z与关于Im()=0对称(Im(=0)>0) 故所求函数不仅把z映照成w=0,而且把三映照成w=∞.由例6.2,这种函数的形状是 其中A是一复常数 又当z为实数时,所求函数将Im()=0映照成|v=1,即 于是A=e,b为一实常数,从而所求函数应为 (6.7 由于函数(6.7)把扩充z平面保形映照为扩充w平面,所以它把Im(x)>0保形映照成|vk1 例65求把上半平面保形映照为单位圆的分式线性函数=f(),使f()=0,amgf()=z 解由例6.4,所求分式线性函数可设为由于分式线性函数确定的映照的保圆性和保对称性，在作以圆弧或直线为边界的区域的 保形映照时，分式线性函数起着很重要的作用，本节通过几个具体例子说明这一点. 例 6.3 求证把上半平面 Im 保形映照为上半平面 的分式线性映照一定可以 表示为 ( ) 0 z > Im( ) 0 w > az b w cz d + = + ， 其中 为实数且满足 abcd ,,, ad bc − > 0 . 证 要把 Im( ) 0 z = 映照为 平面的实轴 w Im( ) 0 w = .因而， z z 平面实轴上的三点 123 x , , x x 必与 平面实轴上的三点 相对应：即欲求分式线性函数满足 w 123 uu u , , 2 1 u u − − ω ω ∶ 23 13 uu uu − − = 2 1 xz xz − − ∶ 23 13 xx xx − − ， 解得 az b w cz d + = + . 因为 123 x , , x x 及 均为实数，所以 uu u 123 , , abcd ,,, 为实数.又 1 1 Im( ) ( ) ( ) 2 2 az b az b w i i cz d cz d ω ω + + = −= − + + = 2 dcz bcad + − i zz 2 − = 2 Im( ) ad bc z cz d − + .从而，当 Im 时要 使 必须有 . ( ) 0 z > Im( ) 0 w > ad bc − > 0 故把上半平面 映照为上半平面 的分式线性函数必具有以下形式 Im( ) 0 z > Im( ) 0 w > az b w cz d + = + ， 其中 为实数且 abcd ,,, ad bc − > 0 . 例 6.4 试求把上半平面 Im( ) 0 z > 保形映照成圆盘| | w <1的分式线性函数. 解 满足要求的分式线性函数首先应把 Im( ) 0 z = 映照成| | w =1，其次应把上半平面 内某一点 映照成 Im( ) 0 z > z w = 0 .因为分式线性函数把关于实轴 Im( ) 0 z = 对称的点映照成关于圆 | |1 w = 对称的点，而 与 w = 0 w = ∞ 关于| | w =1对称， 与0 z 0 z 关于 Im( ) 0 z = 对称( )， 故所求函数不仅把z 0 Im( ) 0 z > 0映照成 ，而且把 w = 0 z 0映照成 w = ∞ .由例 6.2，这种函数的形状是 0 0 z z w z z λ − = − ， 其中λ 是一复常数. 又当 z 为实数时，所求函数将 Im( ) 0 z = 映照成| | w =1，即 0 0 | | | || | | | 1 z z w z z λ − = = − λ = ， 于是 i e θ λ = ，θ 为一实常数，从而所求函数应为 0 0 i z z w e z z θ − = − ， (6.7) 由于函数(6.7)把扩充 z 平面保形映照为扩充 平面，所以它把 w Im( ) 0 z > 保形映照成| | w <1. 例 6.5 求把上半平面保形映照为单位圆的分式线性函数 w fz = ( )，使 ， f i() 0 = ' arg ( ) 2 f i π = . 解 由例 6.4，所求分式线性函数可设为