.262. 智能系统学报 第9卷 K列，计算该训练样本的输出值与样本的期望值的 表2标准差对比 差值E。 Table 2 Comparison of the standard deviation s 5)判断E-E(-)≤8,8为事先设定的常 本文方法 固定基宽的RBF 样本点数 数值，如果该式成立，则转7)：否则转6)。 F F2 F F2 6)计数器K=K+1,并转3)。 80 0.005710.00743 0.0935 0.0824 7)输出矩阵Q中的第K列值，即为该径向 200 0.002190.00473 0.0655 0.0447 基函数神经网络的所有隐层神经元的高斯基基宽。 500 0.004280.00863 0.0841 0.0652 3实例测试 由表1、表2中可知，在相同的训练样本点数 时，采用本文方法所需要的训练时间都比采用固定 为验证该方法构建代理模型的精度，采用2个 基宽方法需要的时间长，这主要是由于采用该方法 benchmark测试函数具体验证该方法的有效性，并 时，各个隐层径向基基宽在每一次训练过程中均需 采用传统RBF固定宽度的方法作测试对比，其中固 要进行灵敏度分析，且需要正交矩阵相关列的计算 定径向基基宽σ=d/√2m,d为两两中心的最大 以及连接权值的调整，但从获得的代理模型精度上 值，m为径向基中心个数。在每种实例中采用3种 来看，不管采用样本数多少，本文所提方法获得模型 的标准差均远小于采用固定基宽方法，前者精度比 不同数量的样本点作对比，从模型训练时间、代理模 后者精度高一个数量级。从样本点数多少来对比模 型获得值同真实值的偏差N。等方面作对比，其中 型的精度，样本点数足够大并不能提高模型精度，也 N.定义如式(12)所示，而3种数据样本点分别取 就是训练样本点取合适足够数即可，无需采集大样 80、200、500个。具体的测试函数为F,和F2。 本数据进行径向基网络的训练，该结果也可从2种 模型的对比图（如图1~6所示）反映出，其中图1、2 (f(x()-f(x())2 和3分别为函数F,在样本点R为80、200、500情况 N.= (12) 含r 下获得的模型图，图4、5和6分别为函数F,在样本 点R为80、200、500情况下获得的模型图。 式中：f(x))、f八x@)分别为模型的真实值、代理 模型获得的输出值。 F1:f(x,y）= 0.5+ sin2(√x2+y-0.5 [1.0+0.001(x2+y2)] 100≤x,y≤100 F2:f(x,y)= -2 0 (4-2.1x2+ 3)+y+(-4+4)y2 4-4-2 图1测试函数F,在数据样本点为80时获得的模型 -3≤x≤3，-2≤y≤2 Fig.I The obtained model for the testing function F (R 80) 在实验过程中，采用Intel(R)Core(TM)i3- 2120,3.30 GHz CPU,并在MATLAB7.0编程环境下 实验，且参数8=0.45。表1、2为试验对比结果。 表1训练时间对比 Table 1 Comparison of the training time s -5 本文方法 固定基宽的RBF 样本点数 0 F F2 F F2 80 23.4517.09 12.62 10.51 0 4-4-2x 200 67.0255.45 44.00 31.09 图2测试函数F,在数据样本点为200时获得的模型 50091.8979.73 68.30 45.36 Fig.2 The obtained model for the testing function F(R 200)Ｋ 列，计算该训练样本的输出值与样本的期望值的 差值 Ｅ （Ｋ） 。 ５）判断 Ｅ （Ｋ） － Ｅ （Ｋ－１） ≤ δ ， δ 为事先设定的常 数值，如果该式成立，则转 ７）；否则转 ６）。 ６）计数器 Ｋ ＝ Ｋ ＋ １，并转 ３）。 ７） 输出矩阵 Ｑ （Ｋ） 中的第 Ｋ 列值，即为该径向 基函数神经网络的所有隐层神经元的高斯基基宽。 ３ 实例测试 为验证该方法构建代理模型的精度，采用 ２ 个 ｂｅｎｃｈｍａｒｋ 测试函数具体验证该方法的有效性，并 采用传统 ＲＢＦ 固定宽度的方法作测试对比，其中固 定径向基基宽 σ ＝ ｄ ／ ２ｍ ， ｄ 为两两中心的最大 值， ｍ 为径向基中心个数。 在每种实例中采用 ３ 种 不同数量的样本点作对比，从模型训练时间、代理模 型获得值同真实值的偏差 Ｎｅ 等方面作对比，其中 Ｎｅ 定义如式（１２） 所示，而 ３ 种数据样本点分别取 ８０、２００、５００ 个。 具体的测试函数为 Ｆ１和 Ｆ２ 。 Ｎｅ ＝ ∑ ｑ ｉ ＝ １ （ｆ ｅ（ｘ （ｉ） ） － ｆ（ｘ （ｉ） ）） ２ ∑ ｑ ｉ ＝ １ ｆ ｅ （ｘ （ｉ） ） ２ （１２） 式中： ｆ ｅ（ｘ （ｉ） ） 、 ｆ（ｘ （ｉ） ） 分别为模型的真实值、代理 模型获得的输出值。 Ｆ１ ： ｆ（ｘ，ｙ） ＝ ０．５ ＋ ｓｉｎ ２ （ ｘ ２ ＋ ｙ ２ － ０．５ ［１．０ ＋ ０．００１（ｘ ２ ＋ ｙ ２ ）］ ２ － １００ ≤ ｘ，ｙ ≤ １００ Ｆ２ ： ｆ（ｘ，ｙ） ＝ （４ － ２．１ｘ ２ ＋ ｘ ４ ３ ）ｘ ２ ＋ ｘｙ ＋ （ － ４ ＋ ４ｙ ２ ）ｙ ２ － ３ ≤ ｘ ≤ ３， － ２ ≤ ｙ ≤ ２ 在实验过程中，采用 Ｉｎｔｅｌ（Ｒ） Ｃｏｒｅ（ ＴＭ） ｉ３ － ２１２０， ３．３０ＧＨｚ ＣＰＵ，并在 ＭＡＴＬＡＢ７．０ 编程环境下 实验，且参数 δ ＝ ０．４５。 表 １、２ 为试验对比结果。 表 １ 训练时间对比 Ｔａｂｌｅ １ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｉｎｉｎｇ ｔｉｍｅ ｓ 样本点数 本文方法 Ｆ １ Ｆ ２ 固定基宽的 ＲＢＦ Ｆ１ Ｆ２ ８０ ２３．４５ １７．０９ １２．６２ １０．５１ ２００ ６７．０２ ５５．４５ ４４．００ ３１．０９ ５００ ９１．８９ ７９．７３ ６８．３０ ４５．３６ 表 ２ 标准差对比 Ｔａｂｌｅ ２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｄｅｖｉａｔｉｏｎ ｓ 样本点数 本文方法 Ｆ １ Ｆ ２ 固定基宽的 ＲＢＦ Ｆ１ Ｆ２ ８０ ０．００５ ７１ ０．００７ ４３ ０．０９３ ５ ０．０８２ ４ ２００ ０．００２ １９ ０．００４ ７３ ０．０６５ ５ ０．０４４ ７ ５００ ０．００４ ２８ ０．００８ ６３ ０．０８４ １ ０．０６５ ２ 由表 １、表 ２ 中可知，在相同的训练样本点数 时，采用本文方法所需要的训练时间都比采用固定 基宽方法需要的时间长，这主要是由于采用该方法 时，各个隐层径向基基宽在每一次训练过程中均需 要进行灵敏度分析，且需要正交矩阵相关列的计算 以及连接权值的调整，但从获得的代理模型精度上 来看，不管采用样本数多少，本文所提方法获得模型 的标准差均远小于采用固定基宽方法，前者精度比 后者精度高一个数量级。 从样本点数多少来对比模 型的精度，样本点数足够大并不能提高模型精度，也 就是训练样本点取合适足够数即可，无需采集大样 本数据进行径向基网络的训练，该结果也可从 ２ 种 模型的对比图（如图 １～ ６ 所示）反映出，其中图 １、２ 和 ３ 分别为函数 Ｆ１在样本点 Ｒ 为 ８０、２００、５００ 情况 下获得的模型图，图 ４、５ 和 ６ 分别为函数 Ｆ２在样本 点 Ｒ 为 ８０、２００、５００ 情况下获得的模型图。 图 １ 测试函数 Ｆ１在数据样本点为 ８０ 时获得的模型 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｅｓｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｆ１（Ｒ ＝ ８０） 图 ２ 测试函数 Ｆ１在数据样本点为 ２００ 时获得的模型 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｅｓｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｆ１（Ｒ ＝ ２００） ·２６２· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷