第二节齐次马尔可夫链 齐次马尔可夫链的概念 个随机过程{Ⅻn,n=0,1,2,…}就是一族随机变量,而‰n能取 的各个不同的值,则称为状态。如果一个随机过程{Xn,n=0,1,2,…}, 由一种状态转移到另一种状态的转移概率只与现在处于什么状态有关,而 与在这时刻之前所处的状态完全无关,即如果过程{Xn,n=0,1,2,…} 中,‰m+的条件概率分布只依赖于‰n的值,而与所有更前面的值相互独立, 则该过程就是所谓马尔可夫( Markov)过程. 马尔可夫链是指时间离散,状态也离散的马尔可夫过程。一个马尔可 夫链,若从u时刻处于状态i,转移到t+u时刻处于状态j的转移概率 与转移的起始时间u无关,则称之为齐次马尔可夫链,简称齐次马氏链 如果把从状态i到状态j的一步转移概率记为p,则p=P{Xn 且有转移概率矩阵P P10 pll p PaP21P2… 这样,一个齐次马氏链,可以由一个转移概率矩阵P以及在时刻零时 状态x=0,1,2,…的概率分布列向量 Q=(q(0),q(1),…) 完全确定。由齐次马氏链性质知道,第i状态的行向量A与第i+1 状态的行向量A之间存在着关系式:A+1=AP。 二、齐次马氏链在评估教学质量中的应用 教学过程是一个随机过程,也就是说,对于具有相同基础知识背景的 学生(个体),在同时接受新知识时是随机的。我们可以把一个班(群体) 的学生划分为不同的等级(譬如:优、良、中、及格、不及格五个等级), 近似地认为处于同一等级的学生具有相同的基础知识,用齐次马氏链,通 过学生学习状态的转移概率矩阵,最终可以预测一个班学生学习成绩的稳 定状态。对教师而言,也就可用来评估、预测一个班的教学质量。 在教学效果指标的量化过程中,齐次马氏链评估法是将一个群体(如 个班或一个年级)的学生在某次考试中获得优(90分以上)、良(80~89 分)、中(70~79分)、及格(60~69分)和不及格(59分以下)各等级学生 人数占总人数之比,作为状态变量,并用向量表示之。即第二节 齐次马尔可夫链 一、齐次马尔可夫链的概念 一个随机过程｛Xn，n＝0，1，2，…｝就是一族随机变量，而 Xn能取 的各个不同的值，则称为状态。如果一个随机过程｛Xn，n＝0，1，2，…｝， 由一种状态转移到另一种状态的转移概率只与现在处于什么状态有关，而 与在这时刻之前所处的状态完全无关，即如果过程｛Xn，n＝0，1，2，…｝ 中，Xn+1的条件概率分布只依赖于 Xn的值，而与所有更前面的值相互独立， 则该过程就是所谓马尔可夫(Markov)过程． 马尔可夫链是指时间离散，状态也离散的马尔可夫过程。一个马尔可 夫链，若从 u 时刻处于状态 i，转移到 t＋u 时刻处于状态 j 的转移概率 与转移的起始时间 u 无关，则称之为齐次马尔可夫链，简称齐次马氏链。 如果把从状态 i 到状态 j 的一步转移概率记为 pij，则 pij＝P｛Xn+1＝j｜ Xn＝i｝，i，j＝0，1，2，…，且有转移概率矩阵 P， 这样，一个齐次马氏链，可以由一个转移概率矩阵 P 以及在时刻零时 状态 x＝0，1，2，…的概率分布列向量 Q＝(q(0)，q(1)，…) 完全确定。由齐次马氏链性质知道，第 i 状态的行向量 Ai与第 i＋1 状态的行向量 Ai+1之间存在着关系式：Ai+1＝AiP。 二、齐次马氏链在评估教学质量中的应用 教学过程是一个随机过程，也就是说，对于具有相同基础知识背景的 学生(个体)，在同时接受新知识时是随机的。我们可以把一个班(群体) 的学生划分为不同的等级(譬如：优、良、中、及格、不及格五个等级)， 近似地认为处于同一等级的学生具有相同的基础知识，用齐次马氏链，通 过学生学习状态的转移概率矩阵，最终可以预测一个班学生学习成绩的稳 定状态。对教师而言，也就可用来评估、预测一个班的教学质量。 在教学效果指标的量化过程中，齐次马氏链评估法是将一个群体(如 一个班或一个年级)的学生在某次考试中获得优(90 分以上)、良(80～89 分)、中(70～79 分)、及格(60～69 分)和不及格(59 分以下)各等级学生 人数占总人数之比，作为状态变量，并用向量表示之。即