设V是复线性空间.V×V上的一个函数,如果满足 (i)(·,·)对第一个变量是线性的 (i)(a,B)=(B (ii1)ya∈V,(a,a)≥0,且(a,a)=0分a=0 则称(a,B)为向量a,B的内积,具有内积的复线性空间称为酉空间(欧氏空间在复线性 空间上的推广)

一.(本题共40分)给定有理数域上的多项式f(x)=x4+3x2+3 1.(本题5分)证明f(x)为中的不可约多项式 2.(本题5分)设a是f(x)在复数域C内的一个根.定义 Qa]= {ao +aa+a2a2}

一、排列与对换 排列的定义:由n个数码1,2,…,n组成的一 个无重复的有序数组称为这n个数 码的一个排列,简称为n元排列。 例如,312是一个3元排列,2341是一个4元排列, 45321是一个5元排列,等等

对一般的数字行列式,如果它的元素之间没有特定的规律, 其计算方法是: 1)利用行列式性质把它化为上三角或下三角行列式,则 行列式的值等于其主对角线上元素的连乘积; 2)选定某一行(列),利用行列式性质把其中元素尽可 能多的化为0;然后按这一行(列)展开,如此继续下去 可得结果

行列式理论在解一类特殊的线性方程组方面有重要应用, 对于二元一次和三元一次方程组,当方程组的系数行列式不 为0时,方程组有唯一的公式解。对于n元一次方程组,相应 的结论也成立,这就是下面要介绍的 Gramer法则

直接用定义计算行列式是很麻烦的事,本节要导出行列式运算的一些性质,利用这些性质,将使行列式的计算大为简化

第六章6-2欧氏空间中特殊的线性变换(续) 命题正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于1证明设入∈C是正交矩阵A的特征多项式的根,则≠0.齐次线性方程组(e-a)X=0在C内有非零解向量

向量空间有两种运算:加法和数量乘法,合起来成为线性 运算。因此向量空间也可称为线性空间。向量空间元素之间的最基本的关系就体现在运算上即所谓线性关系上。因此讨论向量之间的线性关系在研究向量空间时起着极为重要的作用。本节仅限于在F中进行讨论

定理3.5.1(线性方程组有解的判别定理): 线性方程组(3.5.1)有解的充要条件是它的 系数矩阵A与增广矩阵A有相同的秩

设矩阵A∈Rn,如果存在数入∈C及非零向量x∈C满足方程 Ax∈x,则称λ为矩阵A的一个特征值,称为矩阵A的相应于特 征值λ的特征向量。为简单起见,下称,x为矩阵A的一特征对。 特征值的计算,直接从特征方程()=det-A)=0出发会遇到很 大困难,当n稍大一些,行列式展开本身就很不容易,随后是高次代数 方程求解。因此,矩阵特征值的求解,主要是数值解法