9.1.7用形式微商判断多项式是否有重因式 定义9.10设f(x)=ax+a1x+…+an-1x+an∈K[x],定义 f\(x)=na\+(n-1)\-+..+[], 称f(x)为f(x)的一阶形式微商。 设f(x)的k-1阶形式微商已定义,记作f((x)则定义它的k阶形式微商fx)为 f(x)的一阶形式微商:f((x)=(f((x)另外我们约定f(x)=f(x) 命题设f(x)∈K[x],如果K[x]内的不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式,则 p(x)是f(x)的k-1重因式

9.2.2Qx]内多项式的因式分解 定义9.12定义Z[x]={axn+a1x+…+∈Z,i=01n}。 假设f(x)∈Z[x],f(x)≠0及±1。如果g(x)h(x)∈[x],使得f(x)=g(x)h(x), 且g(x)≠±1,h(x)≠±1,则称f(x)在Z[x]内可约,否则称f(x)在Z[x]内不可约 定义9.13设 f(x)=ax+axn+…+an∈Z[x], 这里n≥1。如果(aa1an)=1,则称f(x)是一个本原多项式。 命题Q[x]内一个非零多项式f(x)可以表成一个有理数k和一个本原多项式f(x)的

第五章5-3实与复二次型的分类 1.复、实二次型的规范形 定理复数域上的任一二次型f在可逆变数替换下都可化为规范形 zi+…+z, 其中r是f的秩.复二次型的规范形是唯一的. 证明复数域C上给定二次型) f=, x,x, ( =ai 设它在可逆线性变数替换X=TZ下变为标准型 d1z2+d2z2+…an 这相当于在C上n维线性空间V内做一个基变换 (n2n)=(1,2EnT 使对称双线性函数f(a,B)在新基下的矩阵成对角形

7.1 矩阵运算的规则 7.2 初等变换乘子矩阵的生成 7.3 行列式的定义和计算 7.4 矩阵的秩和矩阵求逆 7.5 用矩阵‘除法’解线性方程 7.6.1 网络的矩阵分割和连接 7.6.2 用逆阵进行保密编译码 7.6.3 减肥配方的实现 7.6.4 弹性梁的柔度矩阵 7.6.5 网络和图 8.1 向量和向量空间 8.2 向量空间和基向量 8.3 向量的内积和正交性 8.4 齐次方程Ax=0的解空间 8.5 解超定方程的思路 8.6.1 价格平衡模型 8.6.2 宏观经济模型 8.6.3 信号流图模型 8.6.4 数字滤波器系统函数

第六章6-2欧氏空间中特殊的线性变换(续) 命题正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于1 证明设入∈C是正交矩阵A的特征多项式的根,则≠0.齐次线性方程组(e-a)X=0 在C内有非零解向量 ( a:a 显然Aa=a=a'a'=a'a'a==a'aa=aa=aa=1从而 入|=1 推论正交矩阵的特征值只能是±1 命题设A是n维欧氏空间V上的正交变换,若A的特征多项式有一个根=e

第五章5-1双线性函数 5.1.1线性空间上的线性函数的定义 1、线性函数的定义 定义设V为数域K上的线性空间,fV→K为映射,满足 f(a+B)=f(a)+f(),va,B∈V;f(ka)kf(a),∈k,aev,则称f为由V 到K的一个线性函数(即f为V到K的一个线性映射) 如同一般的线性映射,有以下事实: i)、f:V→K是线性函数当且仅当f(ka+1B)=kf(a)+lf(B) i)、f(0)=0; i)、f(-a)=-f(a) 命题数域K上的n维线性空间V上的线性函数的全体关于函数加法和数乘构成K上 的n维线性空间

4.2.7线性空间关于一个子空间的同余关系 定义给定K上的线性空间V,M是V的子空间,设a是V的一个向量。如果V的 一个向量a'满足:a-a∈M,则称a'与a模M同余,记作a'=a(modM) 易见,同余关系是V上的一个等价关系。 把全部等价类组成的集合(一个等价类视为等价类集合中的一个元素)记为V/M, V/M中的元素形如 a+m={a+luM}, 我们称a+M为一个模M的同余类,而将等价类中的任一元素称为等价类的代表元素。 命题同余类满足如下一些性质:

第三章3-4行列式的完全展开式 3.4.1一些基本概念 定义给定n个互不相同的自然书,把它们按一定次序排列起来: ii2…in, 称为该n个自然数的一个排列。在上述排列中,如果有一个较大的自然竖排在一个较小的 自然数前面,则称为一个反序。一个排列中包含的反序的总数称为该排列的反序数。排列 …的反序数计作N(2n)。一个排列的反序数为奇数时,该排列称为奇排列

4.1.4线性空间的基变换,基的过渡矩阵 设VK是n维线性空间,设1,E2,…n和2,…,n是两组基,且 (=+++, n2=121+22+…+n2n (nn =tne1 +tn2++ 将其写成矩阵形式 112…ㄣn t21 (n2,n)=(1,2n2122n, :: nn2…tm 定义.11我们称矩阵 (2…n t2122…t2 T=:: Imt In2 为从2n到2的过渡矩阵

4.2.2子空间的交与和,生成元集 定义4.13设a1,a2,,a,∈V,则{ka1+k2a2++ka,k∈K,i=12}是V的 一个子空间,称为由a1,a2,,a,生成的子空间,记为(aa2,,a)易见,生成的子 空间的维数等于a1,a2,…,a的秩。 定义4.14子空间的交与和 设V1,V2为线性空间VK的子空间,定义 vnv2={ VEV2},称为子空间的交 V1+V2={v+v2v∈V1,v2∈V2},称为子空间的和。 命题4.9VNV2和V1+V2都是V的子空间