从实例看微分与积分的联系 到目前为止，我们已详细介绍了微分与积分（这里专指定积分） 的基本概念，但还不曾涉及微分与积分之间的任何联系。事实上，揭 示微分与积分之间的内在联系是需要许多预备知识的。现在这些预备 知识已经基本具备，可以为这两个重要的概念建立桥梁了

定积分概念的导出背景 1609年至1619年间，德国天文学家Kepler提出了著名的“行星运动三大定律”： ⑴行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上

前面关于 Fourier 级数的论述都是对周期函数而言的，那么对于 非周期函数，又该如何处理呢？ 在(−,+) 上可积的非周期函数 f (x)可以看成是周期函数的极限 情况，处理思路是这样的：

带 PeanoTaylor余项的公式 导数,则存在x的一个邻域,对于该邻域中的任一点x,成立 定理5.3.1(带 PeanoTaylor余项的公式)设f(x)在x处有 阶

待定型极限和L' Hospital法则 我们将这种类型的极限称为待定型,简称型。 待定型极限除了型以外,还有型、0°型等几种。我们先讨论如何求型和型的极限,其余几 ∞ 种类型的极限都可以化成这两种类型进行计算

仔细观察上一节中的几幅图像后可以得到这样的直觉:对于一般 的以2为周期的函数f(x),除了个别点之外(看来是不连续点),当 m→∞时,它的 Fourier级数的部分和函数序列{m(x)}

曲线坐标 设U为uv平面上的开集,是xy平面上开集,映射 T: x =x(u,v), y=y(u,v) 是U到v的一个一一对应,它的逆变换记为T:u=u(x,y),v=v(x,y y 在U中取直线u=u,就相应得到xy平面上的一条曲线 =x(,v),=y(,)

定义 10.5.1 设函数 f (x)在闭区间[a, b]上有定义，如果存在多项 式序列｛Pn (x)｝在[a, b] 上一致收敛于 f (x)，则称 f (x)在这闭区间上 可以用多项式一致逼近

一致收敛的判别 定理10.2.1(函数项级数一致收敛的 Cauchy收敛原理)函数 项级数∑un(x)在D上一致收敛的充分必要条件是:对于任意给定的 n=1 >0,存在正整数N=N(),使 un+(x)+un2(x)++um(x)|n>N与一切x∈D成立

产生导数的实际背景 微积分的发明人之一──Newton最早用导数研究的是如何确定 力学中运动物体的瞬时速度问题。 一个运动物体在时刻t 的位移可以用函数s = s(t)来描述，它在时 间段[t, t + t]中位移的改变量为s = s( t + t) − s(t)，所以当t 很小的时 候，它在时刻t的瞬时速度可以近似地用它在[t, t + t]中的平均速度