含参变量反常积分的一致收敛 含参变量的反常积分也有两种:无穷区间上的含参变量反常积分 和无界函数的含参变量反常积分

外微分 设UcR为区域,f(,x2,xn)为U上的可微函数,则它的全微 分为 这可以理解为一个0形式作微分运算后成为1-形式

第二类曲线积分 设L 为空间中一条可求长的连续曲线，起点为 A，终点为B（这 时称L 为定向的）。一个质点在力 F(x, y,z) = P(x, y,z)i + Q(x, y,z) j + R(x, y,z)k 的作用下沿L 从 A移动到B ， 我们要计算F(x, y,z)所作的 功

无条件极值 定义12.6.1设D∈R为开区域,f(x)为定义在D上的函数, x=(x,x2,,x)D若存在x的邻域0(xo,r),使得 f(x)≥f(x)(或f(xo)≤f(x)),x∈O(xo,r), 则称x为f的极大值点(或极小值点);相应地,称f(xo)为相应的极 大值(或极小值);极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极 小值统称为极值

链式规则 设z=f(x,y)(x,y)∈D,是区域D,CR2上的二元函数,而 g:D→R2, (u,v)→(x(u,v),y(uv) 是区域DCR2上的二元二维向量值函数。如果g的值域g(D)=D 那么可以构造复合函数 =fog= f[x(u,v), y(u,v), (u,).o 复合函数有如下求偏导数的法则

多元函数 定义11.2.1设D是R”上的点集,D到R的映射 f:D→R x}2 称为n元函数,记为z=f(x)。这时,D称为f的定义域,f(D) z∈R|z=f(x),x∈D}称为f的值域,={(x,z)∈R|z=f(x),x∈D称为 f的图像

从实例看微分与积分的联系 到目前为止，我们已详细介绍了微分与积分（这里专指定积分） 的基本概念，但还不曾涉及微分与积分之间的任何联系。事实上，揭 示微分与积分之间的内在联系是需要许多预备知识的。现在这些预备 知识已经基本具备，可以为这两个重要的概念建立桥梁了

微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积S 的步骤：对区间[, ] a b 作划分 ax x x x b = 012 < < <\< n = ， 然后在小区间 ],[ 1 ii xx − 中任取点ξ i ，并记 =Δ − iii −1 xxx ，这样就得到了小 曲边梯形面积的近似值 i ii Δ ≈ ξ )( ΔxfS 。最后，将所有的小曲边梯形面积 的近似值相加，再取极限，就得到

反常积分的 Cauchy收敛原理 下面以∫厂f(x)dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 由于反常积分。f(x)dx收敛即为极限mJf(x存在,因此对 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy收敛原理,它可以 表述为如下形式:

应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、 求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题