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一致收敛的判别定理10.2.1(函数项级数一致收敛的 Cauchy收敛原理)函数项级数∑un(x)在D上一致收敛的充分必要条件是:对于任意给定的 n=1 >0,存在正整数N=N(),使 un+(x)+un2(x)++um(x)|n>N与一切x∈D成立

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仔细观察上一节中的几幅图像后可以得到这样的直觉:对于一般的以2为周期的函数f(x),除了个别点之外(看来是不连续点),当 m→∞时,它的 Fourier级数的部分和函数序列{m(x)}

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Fourier级数的分析性质为简单起见,假定f(x)的周期为2π。首先,利用 Riemann引理可以直接得出定理16.3.1设f(x)在[-上可积或绝对可积,则对于f(x)的 Fourier系数an与b

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待定型极限和L' Hospital法则我们将这种类型的极限称为待定型,简称型。待定型极限除了型以外,还有型、0°型等几种。我们先讨论如何求型和型的极限,其余几 ∞ 种类型的极限都可以化成这两种类型进行计算

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有理函数的不定积分形如Pm(x)的函数称为有理函数,这里pm(x)和qn(x)分别是m次和 an(x) n次多项式。在本节中,我们将通过介绍求一般有理函数的不定积分的方法,证明这样的一个结论:有理函数的原函数一定是初等函数

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应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题

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反常积分的 Cauchy收敛原理下面以∫f(x)dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法。由于反常积分∫f(x)dx收敛即为极限(x)dx存在,因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy收敛原理,它可以表述为如下形式:

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微元法我们先回忆一下求曲边梯形面积S的步骤:对区间[a,b作划分 a=x

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从实例看微分与积分的联系到目前为止，我们已详细介绍了微分与积分（这里专指定积分）的基本概念，但还不曾涉及微分与积分之间的任何联系。事实上，揭示微分与积分之间的内在联系是需要许多预备知识的。现在这些预备知识已经基本具备，可以为这两个重要的概念建立桥梁了

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定积分概念的导出背景 1609年至1619年间，德国天文学家Kepler提出了著名的“行星运动三大定律”： ⑴行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上

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