第九章元多项式环 9-1一元多项式环的基本理论 911域上的一元多项式环的定义 定义91设K是一个数域,x是一个不定元。下面的形式表达式 f(x) (其中an3a1,a2属于K,且仅有有限个不是0)称为数域K上的一个不定元x的一元多 式。数域K上一个不定元x的多项式的全体记作K[x] 下面定义K[x]内加法、乘法如下 加法设

北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第九章 一元多项式环 9.1 一元多项式环的基本理论（9.1.7-9.1.11）

9.2.2Qx]内多项式的因式分解 定义9.12定义Z[x]={axn+a1x+…+∈Z,i=01n}。 假设f(x)∈Z[x],f(x)≠0及±1。如果g(x)h(x)∈[x],使得f(x)=g(x)h(x), 且g(x)≠±1,h(x)≠±1,则称f(x)在Z[x]内可约,否则称f(x)在Z[x]内不可约 定义9.13设 f(x)=ax+axn+…+an∈Z[x], 这里n≥1。如果(aa1an)=1,则称f(x)是一个本原多项式。 命题Q[x]内一个非零多项式f(x)可以表成一个有理数k和一个本原多项式f(x)的

9-4单变量有理函数域 9.4.1域上的一元有理分式域的定义 设R为一整环,命S={(b,a)|a,b∈R,a≠0}。现在S中规定为 逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知为一等价关系。用(b,a)表示与 (ba)等价的元素的全体。现记S关于u的等价类的集合为%,则(b,a)是中的元 素。下面在上定义二元运算:

12.2.3一元多项式的判别式的定义 给定K[x]内一个n次多项式 F(x)=ax+axn-+…+an(a≠0) 设a1,a2,…an是它的n个根,令 称其为F(x)的判别式。显然,F(x)有重根其充分必要条件是D(F)=0 现在考察n元式

第十二章张量积与外代数 12-1多重线性映射 12.1.1线性空间的一组基的对偶基的定义 定义12.1对偶空间 设v是k上n维线性空间,E2,Sn是的一组基,则线性函数 f:V→K(K为数域)被f在此组基下的映射法则决定,即f()f(2)f(n)已给 定。现设V内全体线性函数组成的集合为V,则在V内定义加法与数乘如下: (i)f,,+)(a)= f(a)+g(a); (iif EV', k K, f )(a)= (a). 则V关于上述加法、数乘组成K上的线性空间,称为V的对偶空间,记作o(V,K 定义12.2对偶基 假设同定义12.1,定义V内n个线性函数

12-3张量 12.3.1线性变换的张量积的矩阵与线性变换的矩阵的关系 设V是域K上的n维线性空间,G和是V的两组基,且 (n)= (1) 设a∈V在(1n)下的坐标为(x1,x),则由前面的知识,可得 x :=T (2) ) 由此可知,坐标是逆变的 现在考虑V的对偶空间n在的对偶基为f,在v的 对偶基为gg,那么就有

一.(本题20分)设K为数域.给定K4的两个子空间 M={(x1,2,3,4)|21-x2+4x3-3x4=0,x1+x3-x4=0 N={1,x2,x3,4)3x1+x2+x3=0,7x1+7x3-3x4=0} 求子空间MN和M+N的维数和一组基 二(本题10分)在K4内给定 a1=(1,-1,1,1),a2=(2,-2,0,1). 令M=L(a1,a2).试求商空间K4/M的维数和一组基 三.(本题20分)给定数域K上的3阶方阵 1-11 A=24-2 3-35 1.求K上的3阶可逆方阵T,使T-1AT为对角矩阵 2.对于任意正整数m,求Am

1 矩阵 2 矩阵的运算

本章主要内容简介 1.主要介绍n维向量(vector)、向量组(vector set)的线性组合、向 量的线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极 大线性无关组、向量组的秩、向量组的等价等概念。 2.介绍向量组线性相关(linearly dependent)的性质。矩阵的秩与 向量组的秩的关系,用矩阵的初等变换求向量组的秩和极大无关组。 3.用向量组的性质分析线性方程组的结构 4.向量空间、子空间的概念,向量空间的基(basis)和维数(dimension)