定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界 证明设数列{xn}收敛于a 根据数列极限的定义,Vε=1,3N∈N+,当n>N时,有

如果数列{xn}从某项起有xn≥0(或x0),且数列{xn}收 敛于a,那么a≥0(或as0)> 证明就x≥0情形证明 设数列{xn}从N项起,即当n>N时有xn≥0.现在用反 证法证明

一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质

如果在x的某一去心邻域内f(x)≥0(或f(x)≤0),而且 f(x)→A(x→x),那么A≥0(或A≤0) 证明设在x的某一去心邻域内f(x)≥0. 假设上述论断不成立,即设A<0,那么由函数极限的 局部保号性就有x的某一去心邻域,在该邻域内f(x)<0,这 与f(x)≥0的假定矛盾.所以A≥0

一、函数极限的定义 二、函数的极限的性质

定理4(函数极限与数列极限的关系) 如果当x→x时f(x)的极限存在,{xn}为f(x)的定义域内任一 收敛于x的数列,且满足xnx(nN+),那么相应的函数值数列 x)}必收敛,且

定理2(无穷大与无穷小之间的关系) 在自变量的同一变化过程中,如果f(x)为无穷大, 则为无穷小;反之,如果f(x)为无穷小,且f(x)0

讨论若P(x) 则limP(x)= x→x0 提示 lim P(x)= lim (anx\)+lim (axn-I)++ lim (an-x)+ lim an

一、无穷小的性质 二、极限的四则运算法则

数列xn=(1+)n单调性的证明: n 按牛顿二项公式,有