第8章小波与小波变换 小波分析是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种 数学工具。它是继110多年前的傅立叶( Joseph Fourier分析之后的一个重大突破,无论是对 古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数学知识 本章企图从工程应用角度出发,用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用,为读者深入 研究小波理论和应用提供一些背景材料。 81小波介绍 811小波简史 傅立叶理论指出,一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和,叫做傅立叶展开式 用傅立叶表示一个信号时,只有频率分辨率而没有时间分辨率,这就意味我们可以确定信号 中包含的所有频率,但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。为了继承傅立叶分析 的优点,同时又克服它的缺点,人们一直在寻找新的方法 20世纪初,哈尔( Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣 1909年他发现了小波,并被命名为哈尔小波( Haar wavelets),他最早发现和使用了小波 20世纪70年代,当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家 Jean morlet提出了小 波变换WT( wavelet transform)的概念 进入20世纪80年代,法国的科学家 Y.Meyer和他的同事开始为此开发系统的小波分 析方法。 Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数,他用缩放( dilations) 与平移 translations均为2/(j≥0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基,使小波得 到真正的发展。 小波变换的主要算法则是由法国的科学家 Stephane Mallat在1988年提出[l]l。他在构造 正交小波基时提出了多分辨率的概念,从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性,提出 了正交小波的构造方法和快速算法,叫做Malt算法[1]l。该算法统一了在此之前构造正交 小波基的所有方法,它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位 Inrid daubechies, Ronald Coifman和 Victor wickerhauser等著名科学家把这个小波理论 引入到工程应用方面做出了极其重要的贡献。例如, Inrid daubechies于1988年最先揭示了 小波变换和滤波器组( (filter banks))之间的内在关系[2],使离散小波分析变成为现实。在信号 处理中,自从 S Mallat和 Inrid daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后,小 波在信号(如声音信号,图像信号等)处理中得到极其广泛的应用。 经过十几年的努力,这门学科的理论基础已经基本建立,并成为应用数学的一个新领域 这门新兴学科的出现引起了许多数学家和工程技术人员的极大关注,是国际科技界和众多学 术团体高度关注的前沿领域 812小波概念 小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数,它的波形如图801(b)所示。图 8-01(a)是大家所熟悉的正弦波,图8-01(b)是从许多使用比较广泛的小波中挑选出的几种 维小波。 在图801(b)所示的小波中,缩放函数和小波函数的名称大多数是以开发者的名字命名 的.。例如, Moret小波函数是 Grossmann和 Morlet在1984年开发的,db6缩放函数和db6
第 8 章 小波与小波变换 小波分析是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种 数学工具。它是继 110 多年前的傅立叶(Joseph Fourier)分析之后的一个重大突破，无论是对 古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数学知识。 本章企图从工程应用角度出发，用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用，为读者深入 研究小波理论和应用提供一些背景材料。 8.1 小波介绍 8.1.1 小波简史 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。 用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号 中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。为了继承傅立叶分析 的优点，同时又克服它的缺点，人们一直在寻找新的方法。 20 世纪初，哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。 1909 年他发现了小波，并被命名为哈尔小波(Haar wavelets)，他最早发现和使用了小波。 20 世纪 70 年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家 Jean Morlet 提出了小 波变换 WT(wavelet transform)的概念。 进入 20 世纪 80 年代，法国的科学家 Y.Meyer 和他的同事开始为此开发系统的小波分 析方法。Meyer 于 1986 年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放(dilations) 与平移(translations)均为 j 2 ( j 0 的整数)的倍数构造了 2 L R( ) 空间的规范正交基，使小波得 到真正的发展。 小波变换的主要算法则是由法国的科学家 Stephane Mallat 在 1988 年提出[1]。他在构造 正交小波基时提出了多分辨率的概念，从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性，提出 了正交小波的构造方法和快速算法，叫做 Mallat 算法[1]。该算法统一了在此之前构造正交 小波基的所有方法，它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。 Inrid Daubechies，Ronald Coifman 和 Victor Wickerhauser 等著名科学家把这个小波理论 引入到工程应用方面做出了极其重要的贡献。例如，Inrid Daubechies 于 1988 年最先揭示了 小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系[2]，使离散小波分析变成为现实。在信号 处理中，自从 S.Mallat 和 Inrid Daubechies 发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小 波在信号(如声音信号，图像信号等)处理中得到极其广泛的应用。 经过十几年的努力，这门学科的理论基础已经基本建立，并成为应用数学的一个新领域。 这门新兴学科的出现引起了许多数学家和工程技术人员的极大关注，是国际科技界和众多学 术团体高度关注的前沿领域。 8.1.2 小波概念 小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数，它的波形如图 8-01(b)所示。图 8-01(a)是大家所熟悉的正弦波，图 8-01(b)是从许多使用比较广泛的小波中挑选出的几种一 维小波。 在图 8-01(b)所示的小波中，缩放函数和小波函数的名称大多数是以开发者的名字命名 的.。例如，Moret 小波函数是 Grossmann 和 Morlet 在 1984 年开发的，db6 缩放函数和 db6
小波函数是 Daubechies开发的开发几种小波之一; Meyer缩放函数和 Meyer小波函数是 Meyer开发的。但也有不少例外,例如Sym6缩放函数和sym6小波函数则是 symlets的简写 是 Daubechies提议开发的几种对称小波之一;coi2缩放函数和coi2小波函数是 Daubechies 应 R Coifman的请求而开发的几种小波之 与图8-01(a)相比,图8-01(b)所示的小波具有有限的持续时间和突变的频率和振幅,波 形可以是不规则的,也可以是不对称的,在整个时间范围里的幅度平均值为零。而正弦波和 余弦波具有无限的持续时间,它可从负无穷扩展到正无穷,波形是平滑的,它的振幅和频率 也是恒定的。 a)正弦波 Mxat小决函数 Mexican Hat小波函数 Hyqr小波函数 -4-202 Ha缩函数 Hax小波函数 d6缩放函数 db6小波函数 sm缩函数 sy6小波函数 oit2縮放函 coif2小波函数 (b)部分小波 图8-01正弦波与小波 在众多的小波中,选择什么样的小波对信号进行分析是一个至关重要的问题。使用的小 波不同,分析得到数据也不同,这是关系到能否达到使用小波分析的目的问题。如果没有现 成的小波可用,那么还需要自己开发合用的小波 顺便要提及的是,小波函数在时域和频域中都应该具有某种程度的平滑度( 和集中性( concentration),这个复杂的概念在数学上使用消失矩( vanishing moments)来描述 用N表示小波的消失矩的数目。例如, Daubechies小波简写成dbN,如dbl,db2,……,db9 从 Daubechies小波波形来看,N数目的大小反映了 Daubechies小波的平滑度和集中性
第 8 章 小波与小波变换 2 小波函数是 Daubechies 开发的开发几种小波之一；Meyer 缩放函数和 Meyer 小波函数是 Meyer 开发的。但也有不少例外，例如 Sym6 缩放函数和 sym6 小波函数则是 symlets 的简写， 是 Daubechies 提议开发的几种对称小波之一；coif2 缩放函数和 coif2 小波函数是 Daubechies 应 R. Coifman 的请求而开发的几种小波之一。 与图 8-01(a)相比，图 8-01(b)所示的小波具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，波 形可以是不规则的，也可以是不对称的，在整个时间范围里的幅度平均值为零。而正弦波和 余弦波具有无限的持续时间，它可从负无穷扩展到正无穷，波形是平滑的，它的振幅和频率 也是恒定的。 (b) 部分小波 图 8-01 正弦波与小波 在众多的小波中，选择什么样的小波对信号进行分析是一个至关重要的问题。使用的小 波不同，分析得到数据也不同，这是关系到能否达到使用小波分析的目的问题。如果没有现 成的小波可用，那么还需要自己开发合用的小波。 顺便要提及的是，小波函数在时域和频域中都应该具有某种程度的平滑度(smoothness) 和集中性(concentration)，这个复杂的概念在数学上使用消失矩(vanishing moments)来描述， 用 N 表示小波的消失矩的数目。例如，Daubechies 小波简写成 dbN， 如 db1, db2, ……，db9， 从 Daubechies 小波波形来看，N 数目的大小反映了 Daubechies 小波的平滑度和集中性
813小波分析 信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域 的信息,但时间方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同,小波变换通过平移母小 波( mother wavelet)可获得信号的时间信息,而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信 号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数,这些系数代表小波和局 部信号之间的相互关系。本节将介绍小波分析中常用的三个基本概念:连续小波变换、离散 小波变换和小波重构。 1.连续小波变换 傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波,因此正弦波是傅立叶变换的基 函数。同样,小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波, 因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。可以说,凡是能够用傅立叶分析的函数都可 以用小波分析,因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换 的正弦波。 仔细观察图8-02所示的正弦波和小波可以发现,用不规则的小波分析变化激烈的信号 也许比用平滑的正弦波更有效,或者说对信号的基本特性描述得更好。 (a)正弦波 (b)小波(db10) 图8-02傅立叶分析与小波分析使用的基函数 数学上傅立叶分析的过程实际上是用傅立叶变换表示, F(o)= f(t)e - dt 这个式子的含义就是,傅立叶变换是信号∫()与复数指数e(e-= cos or- Jsin at) 之积在信号存在的整个期间里求和。傅立叶变换的结果是傅立叶系数F(o),它是频率O的 函数 同样,连续小波变换( continuous wavelet transform,cWT)用下式表示, C(scale, position)=f()y(scale, position,t)dt 这个式子的含义就是,小波变换是信号∫(1)与被缩放和平移的小波函数之积在信号存在 的整个期间里求和。CWT变换的结果是许多小波系数C,这些系数是缩放因子( scale)和位 置( position)的函数 对缩放因子可这样来理解。如果用字母a表示缩放因子,例如,对于正弦函数, f(t)=sin(t);它的缩放因子a=1 f(t)=sin(21);它的缩放因子a=
第 8 章 小波与小波变换 3 8.1.3 小波分析 信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域 的信息，但时间方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换通过平移母小 波(mother wavelet)可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信 号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局 部信号之间的相互关系。本节将介绍小波分析中常用的三个基本概念：连续小波变换、离散 小波变换和小波重构。 1. 连续小波变换 傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，因此正弦波是傅立叶变换的基 函数。同样，小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波， 因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。可以说，凡是能够用傅立叶分析的函数都可 以用小波分析，因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换 的正弦波。 仔细观察图 8-02 所示的正弦波和小波可以发现，用不规则的小波分析变化激烈的信号 也许比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好。 图 8-02 傅立叶分析与小波分析使用的基函数 数学上傅立叶分析的过程实际上是用傅立叶变换表示， ( ) ( ) j t F f t e dt + − − = 这个式子的含义就是，傅立叶变换是信号 f t() 与复数指数 j t e − ( cos sin j t e t j t − = − ) 之积在信号存在的整个期间里求和。傅立叶变换的结果是傅立叶系数 F( ) ，它是频率 的 函数。 同样，连续小波变换(continuous wavelet transform，CWT )用下式表示， C scale position f t scale position t dt ( , ) ( ) ( , , ) + − = 这个式子的含义就是，小波变换是信号 f t() 与被缩放和平移的小波函数 之积在信号存在 的整个期间里求和。CWT 变换的结果是许多小波系数 C ，这些系数是缩放因子(scale)和位 置(position)的函数。 对缩放因子可这样来理解。如果用字母 a 表示缩放因子，例如，对于正弦函数， f t t ( ) sin( ) = ； 它的缩放因子 a =1 f t t ( ) sin(2 ) = ； 它的缩放因子 1 2 a =
f(1)=sin(4);它的缩放因子a、1 CWT的变换过程可分成如下5个步骤 步骤1:把小波v(t)和原始信号∫(1)的开始部分进行比较 步骤2:计算系数C。该系数表示该部分信号与小波的近似程度。系数C的值越高表示 信号与小波越相似,因此系数C可以反映这种波形的相关程度。 步骤3:把小波向右移,距离为k,得到的小波函数为v(t-k),然后重复步骤1和2。 再把小波向右移,得到小波v(t-2k),重复步骤1和2。按上述步骤一直进行下去,直到 信号f()结束 步骤4:扩展小波v(t),例如扩展一倍,得到的小波函数为y(/2) 步骤5:重复步骤1~4。 CWT的整个变换过程如图8-03所示 f() y(t-k y(t-2K) (t-3k 图8-03连续小波变换的过程 小波变换完成之后得到的系数是在不同的缩放因子下由信号的不同部分产生的。这些小 波系数、缩放因子和时间之间的关系和它们的含义可以用图8-04(a)表示,该图是用 MATLAB 软件绘制的。图8-04(a)是用二维图像表示的小波变换分析图,x轴表示沿信号的时间方向 上的位置,y轴表示缩放因子,每个xy点的颜色表示小波系数C的幅度大小。图8-04(b) 是用三维图像表示的小波变换分析图,z轴表示小波变换之后的系数
第 8 章 小波与小波变换 4 f t t ( ) sin(4 ) = ； 它的缩放因子 1 4 a = CWT 的变换过程可分成如下 5 个步骤： 步骤 1: 把小波 ()t 和原始信号 f t() 的开始部分进行比较。 步骤 2: 计算系数 C 。该系数表示该部分信号与小波的近似程度。系数 C 的值越高表示 信号与小波越相似，因此系数 C 可以反映这种波形的相关程度。 步骤 3: 把小波向右移，距离为 k ，得到的小波函数为 ( ) t k − ，然后重复步骤 1 和 2。 再把小波向右移，得到小波 ( ) t k − 2 ，重复步骤 1 和 2。按上述步骤一直进行下去，直到 信号 f t() 结束。 步骤 4: 扩展小波 ()t ，例如扩展一倍，得到的小波函数为 ( / ) t 2 。 步骤 5: 重复步骤 1~4。 CWT 的整个变换过程如图 8-03 所示。 图 8-03 连续小波变换的过程 小波变换完成之后得到的系数是在不同的缩放因子下由信号的不同部分产生的。这些小 波系数、缩放因子和时间之间的关系和它们的含义可以用图 8-04(a)表示，该图是用 MATLAB 软件绘制的。图 8-04(a)是用二维图像表示的小波变换分析图， x 轴表示沿信号的时间方向 上的位置， y 轴表示缩放因子，每个 xy- 点的颜色表示小波系数 C 的幅度大小。图 8-04(b) 是用三维图像表示的小波变换分析图， z 轴表示小波变换之后的系数
31 31g 系数 值低 3950400040504100415042004250 时间 (a)二维图 时间 b)三维图 图804连续小波变换分析图[4] 小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解。缩放因子小,表示小波比较窄, 度量的是信号细节,表示频率O比较高;相反,缩放因子大,表示小波比较宽,度量的是 信号的粗糙程度,表示频率比较低 2.高散小波变换 在计算连续小波变换时,实际上也是用离散的数据进行计算的,只是所用的缩放因子和 平移参数比较小而已。不难想象,连续小波变换的计算量是惊人的。为了解决计算量的问题 缩放因子和平移参数都选择2/(j>0的整数)的倍数。使用这样的缩放因子和平移参数的小 波变换叫做双尺度小波变换( dyadic wavelet transform,它是离散小波变换( discrete wavele transform,DWT)的一种形式。从文献看,离散小波变换通常指的就是双尺度小波变换 使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间关系如图8-05所示。图(a)是20世 纪40年代使用 Gabor开发的短时傅立叶变换 short time fourier transform,STFn)得到的时间 频率关系图,图(b)是20世纪80年代使用 Morlet开发的小波变换得到的时间-缩放因子(反 映频率)关系图
第 8 章 小波与小波变换 5 (a) 二维图 (b) 三维图 图 8-04 连续小波变换分析图[4] 小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄， 度量的是信号细节，表示频率 比较高；相反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是 信号的粗糙程度，表示频率 比较低。 2. 离散小波变换 在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和 平移参数比较小而已。不难想象，连续小波变换的计算量是惊人的。为了解决计算量的问题， 缩放因子和平移参数都选择 j 2 ( j .>0 的整数)的倍数。使用这样的缩放因子和平移参数的小 波变换叫做双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)，它是离散小波变换(discrete wavelet transform，DWT)的一种形式。从文献看，离散小波变换通常指的就是双尺度小波变换。 使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间关系如图 8-05 所示。图(a)是 20 世 纪 40 年代使用 Gabor 开发的短时傅立叶变换(short time Fourier transform，STFT)得到的时间 -频率关系图，图(b)是 20 世纪 80 年代使用 Morlet 开发的小波变换得到的时间-缩放因子(反 映频率)关系图
wS f (a) STFT (b)CWT 图8-05离散小波变换分析图 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器。该方法是 Mallat在1988年开发的,叫做 Mallat算法[l]这种方法实际上是一种信号的分解方法,在数字信号处理中称为双通道子带 编码 用滤波器执行离散小波变换的概念如图8-06所示。图中,S表示原始的输入信号,通 过两个互补的滤波器产生A和D两个信号,A表示信号的近似值( approximations),D表示 信号的细节值( detail)。在许多应用中,信号的低频部分是最重要的,而高频部分起一个“添 加剂”的作用。犹如声音那样,把高频分量去掉之后,听起来声音确实是变了,但还能够听 清楚说的是什么内容。相反,如果把低频部分去掉,听起来就莫名其妙。在小波分析中,近 似值是大的缩放因子产生的系数,表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系 数,表示信号的高频分量 滤波器 低通 图8-06双通道滤波过程 由此可见,离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始 信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信号的分解过程可以叠代,也就是说 可进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解,而对低频分量连续进行分解,就得到许 多分辨率较低的低频分量,形成如图8-07所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波分解树 ( wavelet decomposition tree)分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要
第 8 章 小波与小波变换 6 图 8-05 离散小波变换分析图 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器。该方法是 Mallat 在 1988 年开发的，叫做 Mallat 算法[1]。这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带 编码。 用滤波器执行离散小波变换的概念如图 8-06 所示。图中，S 表示原始的输入信号，通 过两个互补的滤波器产生 A 和 D 两个信号，A 表示信号的近似值(approximations)，D 表示 信号的细节值(detail)。在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添 加剂”的作用。犹如声音那样，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听 清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。在小波分析中，近 似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系 数，表示信号的高频分量。 图 8-06 双通道滤波过程 由此可见，离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。原始 信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信号的分解过程可以叠代，也就是说 可进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续进行分解，就得到许 多分辨率较低的低频分量，形成如图 8-07 所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波分解树 (wavelet decomposition tree)。分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要
A D LPF: low pass filter HPF: high pass filter (a)信号分解(b)系数结构(c)小波分解树 图8-07小波分解树 小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。如果不仅对信号的低频分量连续进 行分解,而且对高频分量也进行连续分解,这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量,而 且也可得到许多分辨率较低的高频分量。这样分解得到的树叫做小波包分解树( wavelet packet decomposition tree),这种树是一个完整的二进制树。图8-08表示的是一棵三级小波 包分解树。小波包分解方法是小波分解的一般化,可为信号分析提供更丰富和更详细的信息。 例如,小波包分解树允许信号S表示为 S=Al +AAD3+DAD3 + D2 a Daaa adaaddas AAD DAD3ADD 图8-08三级小波包分解树 随便要提及的是,在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时,得到的数据将是原始数 据的两倍。例如,如果原始信号的数据样本为1000个,通过滤波之后每一个通道的数据均 为1000个,总共为2000个。于是,根据尼奎斯特( Nyquist)样定理就提出了降采样 ( downsampling)的方法,即在每个通道中每两个样本数据取一个,得到的离散小波变换的系 数( coefficient分别用cD和cA表示,如图8-09所示。图中的符号⑨表示降采样
第 8 章 小波与小波变换 7 (a)信号分解 (b)系数结构 (c)小波分解树 图 8-07 小波分解树 小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。如果不仅对信号的低频分量连续进 行分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而 且也可得到许多分辨率较低的高频分量。这样分解得到的树叫做小波包分解树(wavelet packet decomposition tree)，这种树是一个完整的二进制树。图 8-08 表示的是一棵三级小波 包分解树。小波包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析提供更丰富和更详细的信息。 例如，小波包分解树允许信号 S 表示为 S A AAD DAD DD = + + + 1 3 3 2 图 8-08 三级小波包分解树 随便要提及的是，在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是原始数 据的两倍。例如，如果原始信号的数据样本为 1000 个，通过滤波之后每一个通道的数据均 为 1000 个，总共为 2000 个。于是,根据尼奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了降采样 (downsampling)的方法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的离散小波变换的系 数(coefficient)分别用 cD 和 cA 表示，如图 8-09 所示。图中的符号 表示降采样
① 1000 1000 → ① 500 H:高通滤波器L:低通滤波器 图8-09降采样过程 3.小波重构 离散小波变换可以用来分析或者叫做分解信号,这个过程叫做分解或者叫做分析。把分 解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构( wavelet reconstruction)或者叫做合成 ( synthesis),数学上叫做逆离散小波变换( (inverse discrete wavelet transform,IDWD。 在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样两个过程,在小波重构时要包含升采样 ( upsampling)和滤波过程。小波重构的方法如图8-10所示,图中的符号①表示升采样 H:高通滤波器L:低通滤波器 图8-10小波重构方法 升采样是在两个样本数据之间插入“0”,目的是把信号的分量加长。升采样的过程如 图8-11所示 3 12345678910 (a)降采样信号 (b)升采样信号 图8-11升采样的方法 重构过程中滤波器的选择也是一个重要的研究问题,这是关系到能否重构出满意的原始 信号的问题。在信号的分解期间,降采样会引进畸变,这种畸变叫做混叠( aliasing)。这就需 要在分解和重构阶段精心选择关系紧密但不一定一致的滤波器才有可能取消这种混叠。低通 分解滤波器(L)和高通分解滤波器(H以及重构滤波器(L和H)构成一个系统,这个系统叫做 正交镜像滤波器( quadrature mirror filters,QMF)系统,如图8-12所示
第 8 章 小波与小波变换 8 图 8-09 降采样过程 3. 小波重构 离散小波变换可以用来分析或者叫做分解信号，这个过程叫做分解或者叫做分析。把分 解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构(wavelet reconstruction)或者叫做合成 (synthesis)，数学上叫做逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform，IDWT)。 在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样两个过程，在小波重构时要包含升采样 (upsampling)和滤波过程。小波重构的方法如图 8-10 所示，图中的符号 表示升采样。 图 8-10 小波重构方法 升采样是在两个样本数据之间插入“0”，目的是把信号的分量加长。升采样的过程如 图 8-11 所示。 图 8-11 升采样的方法 重构过程中滤波器的选择也是一个重要的研究问题，这是关系到能否重构出满意的原始 信号的问题。在信号的分解期间，降采样会引进畸变，这种畸变叫做混叠(aliasing)。这就需 要在分解和重构阶段精心选择关系紧密但不一定一致的滤波器才有可能取消这种混叠。低通 分解滤波器(L)和高通分解滤波器(H)以及重构滤波器(L'和 H')构成一个系统，这个系统叫做 正交镜像滤波器(quadrature mirror filters，QMF)系统，如图 8-12 所示
L 分解 重构 图8-12正交镜像滤波器系统 814小波定义 在数学上,小波定义为对给定函数局部化的函数。小波可由一个定义在有限区间的函数 v(x)来构造,v(x)称为母小波( mother wavelet或者叫做基本小波。一组小波基函数 a(x)},可通过缩放和平移基本小波v(x)来生成 Ya.b(x)=a 其中,a为进行缩放的缩放参数,反映特定基函数的宽度(或者叫做尺度):b为进行平移的 平移参数,指定沿x轴平移的位置 当a=2和b=ia的情况下,一维小波基函数序列定义为 v,(x)=2u(2x-),或者v1,(x)=2v(2x-) 本教材将采用下面的表示法 v(x)=2/2v(2/x-i) 其中,i为平移参数,j为缩放因子。 函数f(x)以小波v(x)为基的连续小波变换定义为函数f(x)和va6(x)的内积 在1984年, A Grossman和 J Morlet指出,连续小波的逆变换为, f(x)=4(,Ya.b).s(x)a-dadb 其中,Cv为母小波v(x)的允许条件( admissible condition) dt<∞ 其中,v(a)为v(x)的傅立叶变换,而v(x)是在平方可积的实数空间L(R)
第 8 章 小波与小波变换 9 图 8-12 正交镜像滤波器系统 8.1.4 小波定义 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的函数。小波可由一个定义在有限区间的函数 ( ) x 来构造， ( ) x 称为母小波(mother wavelet)或者叫做基本小波。一组小波基函数， a b, ( ) x ，可通过缩放和平移基本小波 ( ) x 来生成， / , ( ) a b x b x a a − − = 1 2 其中， a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度(或者叫做尺度)； b 为进行平移的 平移参数，指定沿 x 轴平移的位置。 当 j a = 2 和 b ia = 的情况下，一维小波基函数序列定义为 / 2 , ( ) 2 (2 ) j j i j x x i − − = − ，或者 / 2 , ( ) 2 (2 ) j j i j x x i = − 本教材将采用下面的表示法， / 2 ( ) 2 (2 ) i j j j x x i = − 其中， i 为平移参数， j 为缩放因子。 函数 f x( ) 以小波 ( ) x 为基的连续小波变换定义为函数 f x( ) 和 , ( ) a b x 的内积， , ( , ) , ( ) f a b x b W a b f f x dx a a + − − = = 1 在 1984 年，A.Grossman 和 J.Morlet 指出，连续小波的逆变换为， , , ( ) , ( ) a b a b f x f x a dadb C + + − − − = 2 2 其中， C 为母小波 ( ) x 的允许条件(admissible condition)， ˆ( ) C d + − = 其中， ˆ( ) 为 ( ) x 的傅立叶变换，而 ( ) x 是在平方可积的实数空间 2 L (R)
82哈尔函数 哈尔小波是小波系列中最简单的小波,因此本节将从哈尔小波入手,首先介绍用来构造 任意给定信号的哈尔基函数,然后介绍用来表示任意给定信号的哈尔小波函数,最后介绍函 数的规范化和哈尔基的构造 821哈尔基函数 基函数是一组线性无关的函数,可以用来构造任意给定的信号。例如,用基函数的加权 和表示。最简单的基函数是哈尔基函数( Haar basis function)。哈尔基函数在1909年提出,它 是由一组分段常值函数( piecewise- constant function)组成的函数集。这个函数集定义在半开区 间[0,1)上,每一个分段常值函数的数值在一个小范围里是“1”,其他地方为“0”,现以 图像为例并使用线性代数中的矢量空间来说明哈尔基函数。 如果一幅图像仅由2°=1个像素组成,这幅图像在整个[0,1)区间中就是一个常值函数 用c8(x)表示这个常值函数,用V0表示由这个常值函数生成的矢量空间 °:c8(x) 10≤x<1 0其他 它的波形如图8-13所示 波形: 4( 01/2 图8-13c(x)的波形 这个常值函数也叫做框函数( box function),它是构成矢量空间V的基 如果一幅图像由2=2个像素组成,这幅图像在[0,1)区间中有两个等间隔的子区间: [0,1/2)和[/2,1),每一个区间中各有1个常值函数,分别用(x)和(x)表示。用V表 示由2个子区间中的常值函数生成的矢量空间,即 0≤x<0.5 0.5≤x< :(x)= 其他·州(x) 0其他 它们的波形如图8-14所示 (x) 12 图8-14c(x)和(x)的波形
第 8 章 小波与小波变换 10 8.2 哈尔函数 哈尔小波是小波系列中最简单的小波，因此本节将从哈尔小波入手，首先介绍用来构造 任意给定信号的哈尔基函数，然后介绍用来表示任意给定信号的哈尔小波函数，最后介绍函 数的规范化和哈尔基的构造。 8.2.1 哈尔基函数 基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号。例如，用基函数的加权 和表示。最简单的基函数是哈尔基函数(Haar basis function)。哈尔基函数在 1909 年提出，它 是由一组分段常值函数(piecewise-constant function)组成的函数集。这个函数集定义在半开区 间 [0,1) 上，每一个分段常值函数的数值在一个小范围里是“1”，其他地方为“0”，现以 图像为例并使用线性代数中的矢量空间来说明哈尔基函数。 如果一幅图像仅由 0 2 =1 个像素组成，这幅图像在整个 [0,1) 区间中就是一个常值函数。 用 0 0 ( ) x 表示这个常值函数，用 0 V 表示由这个常值函数生成的矢量空间，即 0 V ： 0 0 1 0 1 ( ) 0 x x = 其他 它的波形如图 8-13 所示。 图 8-13 0 0 ( ) x 的波形 这个常值函数也叫做框函数(box function),它是构成矢量空间 0 V 的基。 如果一幅图像由 1 2 =2 个像素组成，这幅图像在 [0,1) 区间中有两个等间隔的子区间： [0,1/ 2) 和 [1/ 2,1) ，每一个区间中各有 1 个常值函数，分别用 1 1 0 1 ( ) ( ) x x 和 表示。用 1 V 表 示由 2 个子区间中的常值函数生成的矢量空间，即 1 V ： 1 0 1 0 0.5 ( ) 0 x x = 其他 ， 1 1 1 0.5 1 ( ) 0 x x = 其他 它们的波形如图 8-14 所示。 图 8-14 1 1 0 1 ( ) ( ) x x 和 的波形