多媒体技术基础第7章小波与小波变换
多媒体技术基础 第7章 小波与小波变换
第7章小波与小波变换目录7.3哈尔小波变换7.1小波介绍7.4规范化算法7.1.1小波简史7.5二维哈尔小波变换7.1.2小波概念7.1.3小波分析7.5.1二维小波变换举例7.5.2二维小波变换方法7.1.4小波定义7.2哈尔函数7.2.1哈尔基函数7.2.2哈尔小波函数7.2.3函数的规范化7.2.4 哈尔基的结构2/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 2/46 第7章 小波与小波变换目录 7.1 小波介绍 7.1.1 小波简史 7.1.2 小波概念 7.1.3 小波分析 7.1.4 小波定义 7.2 哈尔函数 7.2.1 哈尔基函数 7.2.2 哈尔小波函数 7.2.3 函数的规范化 7.2.4 哈尔基的结构 7.3 哈尔小波变换 7.4 规范化算法 7.5 二维哈尔小波变换 7.5.1 二维小波变换举例 7.5.2 二维小波变换方法
7.1小波介绍■小波(wavelet)是什么在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数具有有限的持续时间和突变的频率和振幅在有限的时间范围内，它的平均值等于零D.5.05Sine waveMorletWaveletHaarWaveletMexican Hat Wavelet(Gaussian-gatedsinewave)(sumoftwoCauseians)3/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 3/46 7.1 小波介绍 ◼ 小波(wavelet)是什么 ➢ 在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数 ◼ 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 ◼ 在有限的时间范围内，它的平均值等于零
7.1小波介绍(续1)部分小波，许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如，Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的Meyer缩放函数Meyer小波函数Moret小波函数Haar小波函数MexicanHat小波函涵数Haar缩放函数0.806050.50.5OA0.50200.5050.502-0.52-50-5-510.500.5coif2缩放函数coif2小波函数db6 缩放函数db6小波函数sym6小被波函数sym6缩放函数1.51.51.50.50.50.50.5:-0.50.50.50.50.510T0610部分小波图7-1正弦波与小波4/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 4/46 7.1 小波介绍(续1) ➢ 部分小波 ◼ 许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如， ◼ Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的 ◼ db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的 图7-1 正弦波与小波——部分小波
7.1小波介绍(续2)■小波简史小波变换（wavelettransform)是什么■老课题：函数的表示方法-新方法：Fourier-Haar-wavelettransform1807: Joseph Fourier傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式5/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 5/46 7.1 小波介绍(续2) ➢ 1807: Joseph Fourier ◼ 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦 和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式 ◼ 小波简史 ➢ 小波变换 (wavelet transform)是什么 ◼ 老课题：函数的表示方法 ◼ 新方法：Fourier－Haar－wavelet transform
7.1小波介绍（续3F(o) = f(t)e-joi dtF(o)ejotf(t) =2元where e-jot = cos ot - jsin ot■只有频率分辨率而没有时间分辨率■可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候6/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 6/46 7.1 小波介绍(续3) where cos sin j t e t j t − = − ( ) ( ) ( ) ( )e j t j t F f t e dt f t F + − − + − = = 1 2 ◼ 只有频率分辨率而没有时间分辨率 ◼ 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能 确定具有这些频率的信号出现在什么时候
7.1小波介绍（续4)1909: Alfred HaarAlfredHaar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haarwavelets)7/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 7/46 7.1 小波介绍(续4) ➢ 1909: Alfred Haar ◼ Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后 来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
7.1 小波介绍(续5)1945: Gabor开发了STFT(short time Fourier transform)STFT(t,の)= [ s(t)g(t-t)e-jo dtwhere: s(t) = signalg(t)= windowing function3五元本f时间STFT的时间-频率关系图8/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 8/46 7.1 小波介绍(续5) ➢ 1945: Gabor ◼ 开发了STFT (short time Fourier transform) ( , ) ( ) where: ( ) signal ( )= windo ( wing ) function j t STFT s t e dt g s t g t t − = = − STFT的时间-频率关系图
7.1小波介绍（续6:1980 : Morlet■20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家JeanMorlet提出小波变换（wavelettransform，WT)的概念。20世纪80年代，开发了连续小波变换（continuouswavelet transform , CWT)> 1986 : Y.Meyer■法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数■用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(0的整数)的倍数构造了L?(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展2025年10月26日9/46第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 9/46 7.1 小波介绍(续6) ➢ 1980：Morlet ◼ 20世纪70年代，在法国石油公司工作的年轻地球 物理学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 ◼ 20世纪80年代, 开发了连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT) ➢ 1986：Y.Meyer ◼ 法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具 有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数 ◼ 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j (j≥0的 整数)的倍数构造了L 2 (R)空间的规范正交基，使 小波分析得到发展
7.1小波介绍（续71988：Mallat算法法国科学家StephaneMallat提出多分辨率概念，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法[1]，该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位10/462025年10月26日第7章小波与小波变换
2025年10月26日 第7章 小波与小波变换 10/46 7.1 小波介绍(续7) ➢ 1988：Mallat算法 ◼ 法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念，从空 间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交 小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法[1] ◼ 该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法， 其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的 地位