§2收敛数列的性质 本节首先考察收敛数列这个新概念有哪 些优良性质？然后学习怎样运用这些性质 二、 惟一性 有界性 保号性 保不等式性 询敛性（夹逼原理） 六、极限的四则运算 一些例子
前页 后页 返回 一、惟一性 §2 收敛数列的性质 本节首先考察收敛数列这个新概念有哪 七、一些例子 六、极限的四则运算 五、迫敛性(夹逼原理) 四、保不等式性 三、保号性 二、有界性 些优良性质？然后学习怎样运用这些性质. 返回
一、惟一性 定理2.2若{an}收敛，则它只有一个极限. 证设a是{an}的一个极限.下面证明对于任何 定数b1a,b不能是{um}的极限. 若，b都是{an}的极限，则对于任何正数口 ,当n>N时有 lan-aN,时，有
前页 后页 返回 一、惟一性 定理 2.2 若 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 下面证明对于任何 定数 若 a，b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数 >0
la-blN时(1)，(2)同时成 立， 从而有 la-bl lan-al+lan-bl<2e. 因为e是任意的，所以a=b
前页 后页 返回 当 n > N 时 (1), (2)同时成 立, 从而有
二、有界性 定理2.3若数列{an}收敛，则{an}为有界数列 即存在M>0,使得|an￡M,n=1,2,L 证设iman=a,对于正数e=l,SN,n>N时，有 n®￥ an-a|<1,即a-1<an<a+1. 若令M=max{|aa2l,L,ana-1,a+1 则对一切正整数n,都有引an￡M. 前页
前页 后页 返回 二、有界性 即存在 证 对于正数 若令 则对一切正整数 n , 都有 定理 2.3 若数列
注数列{(1)”}是有界的，但却不收敛.这就说 明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条 件. 前过
前页 后页 返回 件. 注 数列 是有界的, 但却不收敛. 这就说 明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条
三、保号性 定理2.4设iman=a,对于任意两个实数b,c, n®￥ bN时，b0,SN,当n>N时， b￡a-e0(或ag>0(或an<g<0). 2 2 这也是为什么称该定理为保号性定理的原因
前页 后页 返回 三、保号性 定理 2.4 对于任意两个实数 b, c , 证 注 我们可取 这也是为什么称该定理为保号性定理的原因. , 则存在 N, 当 n > N 时
12二0. 例1证明im 证对任意正数目因为im Ie八=0，所以由 nR Y n! 定理2.4，$N>0,当n>N时， c1,即<e n! 这就证明了im:n 1 =0
前页 后页 返回 例1 证明 证 对任意正数 , 所以由 这就证明了 定理 2.4
四、保不等式性 定理2.5设{4n},{b}均为收敛数列，如果存在正 数N,当n>N。时，有an￡bn,则ima,￡limb n®￥ n®￥ 证设inm0,=a,imb,=h.若bN。,当n>N时， 、4,a42“)Dbb+46=a+6 22 故an>bn,导致矛盾.所以a￡b. 前页
前页 后页 返回 四、保不等式性 定理 2.5 均为收敛数列, 如果存在正 证 所以
注若将定理2.5中的条件a,n￡bn改为am<bn, 也只能得到lima,￡limb, n⑧￥ n®￥ 这就是说，即使条件是严格不等式，结论却不一定 是严格不等式. 例如，虽然}会但四}m子=0. n®￥几n®￥n
前页 后页 返回 是严格不等式. 注 若将定理 2.5 中的条件 改为 这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定 也只能得到 例如 , 虽然
五、迫敛性（夹逼原理) 定理2.6设数列{an},{bn}都以a为极限，数列{cn} 满足：存在N,当n>N。时，有an￡cn￡bn,则 {cn}收敛，且imcn=a. n®Y 证对任意正数e,因为lim,=limb,=a,所以分 R n®Y 别存在N,N,使得当n>N,时，a-eN,时，bnN时，a-e<an￡cn￡bn<a+e.这就证得 前页
前页 后页 返回 五、迫敛性 (夹逼原理) 定理 2.6 设数列 都以 a 为极限, 证 对任意正数 所以分 这就证得 满足: 存在 则