《画法几何与工程制图》课程教学资源（教材讲义）第02章几何元素的投影.doc_大学文库

63 第 2 章几何元素的投影任何工程物体的空间构造描述，都借助于其上的特定几何元素：点、线、面。为了正确而迅速地画出物体的投影和分析空间几何问题，必须研究与分析空间几何元素（点、线、面）的图示问题。 2.1 点的投影由前述投影性质可知，点在一个投影面上的单个投影是不能确定点的空间位置的。工程中为了方便准确地图示点的空间位置，常取两个或三个互相垂直的投影面进行投影。 2.1.1 点在两投影面体系中的投影 1.两投影面体系的建立如图 2-1 所示为空间两个互相垂直的投影面，处于正面直立位置的投影面称为正投影面，以 V 表示，简称 V 面；处于水平位置的投影面称为水平投影面，以 H 表示，简称 H 面。V 面和 H 面所组成的体系称为两投影面体系。V 面和 H 面的交线称为 X 投影轴，简称 X 轴。两投影面把空间分成四个分角，依次用Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ表示。 2.点的两面投影首先研究点在第Ⅰ分角内的投影。如图 2-2 所示，由空间一点 A 向 H 面作垂线，其垂足就是点 A 在 H 面上的投影，称为点 A 的水平投影，以 a 表示。再由点 A 向 V 面作垂线，其垂足就是点 A 在 V 面上的投影，称为点 A 的正面投影，以 a'表示。将 H 面绕 X 轴向下旋转使与 V 面重合在同一平面位置上，就得到点的两面投影。因投影面可根据需要扩大，故一般不画出投影面的边界（图 2-2c）。反过来，有了点的正面投影和水平投影，就可确定该点的空间位置。可以想象图中 X 轴上的V 面保持直立位置，将 H 面绕 X 轴向前转 90°呈水平位置，再分别从 a'、a 作 V、H 投影面的垂线，相交即得空间点 A，从而唯一地确定了该点的空间位置。 3.点在两投影面体系中的投影规律图4-1 H V o X 图 2-1 两投影体系 a X X a A X a a a y a z a z y a a a A X A A A X X ' O O O V H V H a） b） c）图 2-2 点在第一分角中的投影

65 则 m 与 M 重合，m'在 X 轴上，同理，点 K 也如此。点 N 在 V 面上，则 n'与 N 重合，n 在 X 轴上，同理点 L 亦如此。当点在投影轴上时，它的两个投影均与空间点重合在投影轴上。如点 G 在 X 轴上，则 g、g'与 G 均重合在 X 轴上。 2.1.2 点在三投影面体系中的投影 1.三投影面体系的建立如图 2-5a 所示，如在两面体系上再加上一个与 V、H 均垂直的投影面，它处于侧立位置，称为侧投影面，以 W 表示，简称 W 面，这样三个互相垂直的面就组成一个三投影面体系。H、W 面的交线称为 Y 投影轴，简称 Y 轴；V、W 面的交线称为 Z 投影轴，简称 Z 轴，三个投影轴的交点 O 称为原点。 2. 点的三面投影设有一空间点 A，分别向 H、V、W 面进行投射得 a、a'、a"，a"称为点 A 的侧面投影。将 H、W 面分别按箭头方向旋转，使与 V 面重合，即得点的三面投影（图 2-5b）。其中 Y 轴既随 H 面旋转，也随 W 面旋转，分别用 YH、YW表示。通常在投影图上只画出其投影轴不画投影面的边界（图 2-5c）。 3.点的直角坐标与三面投影的关系如把三投影面体系看做空间直角坐标系，则 H、V、 W 面即为坐标面，X、Y、Z 轴即为坐标轴，O 点即为坐标原点。由图 2-5 可知，点 A 的三个直角坐标 xA、yA、zA 即为点 A 到三个坐标面的距离，它们与点 A 的投影的关系如下： A 距离 W＝Aa"＝aaY＝a'aZ＝OaX＝xA 横标 A 距离 W＝Aa'＝aaX＝a"aZ＝OaY＝yA 纵标 A 距离 W＝Aa＝a'aX＝a"aY＝OaZ＝zA 高标由此可见：a 由 xA、yA 确定； a'由 xA、zA 确定； a"由 yA、zA 确定所以空间点 A（xA，yA，zA）在三面投影体系中有唯一的一组投影（a，a'，a"）。反之，已知点 A 的投影（a，a'，a"），即可确定点 A 的空间坐标值。 3.三投影面体系中点的投影规律三投影面体系中点的投影规律如下： X Z Y a a a a a z a y x Z X W YH a a a A A A a X a YH X W Z a a Z a O O a Y O Y A A A X Z Y A a a aZ Y O Y aX z y x aO a a '' ' '' ' H W YH YW V H W a） b） c）图 2-5 点在三投影面体系中的投影

67 分析：根据点 A 的三面投影，即可确定点 A 的三个坐标（xA，yA，zA），然后按坐标值作图。作图：通常将轴测图上的 X 轴画成水平位置，Z 轴画成铅垂位置，Y 轴画成与 X、Z 轴成 135°，即与 X 轴延长线成 45°。在相应轴上量取坐标 xA、yA、zA，得到 ax、ay、az 三点，然后从这三点分别作各轴的平行线即得三个交点即为 a、a'、a"，再从 a、a'、a"作各轴的平行线相交与一点，即得空间点 A。 2.1.3 两点的相对位置 1.两点的相对位置的确定空间点的位置可以用绝对坐标（即空间点对原点 O 的坐标）来确定，也可以用相对于另一点的相对坐标来确定。两点的相对位置即为两点的坐标差。如图 2-9 所示，已知空间点 A（xA、yA、zA）和 B（xB、yB、zB），如分析 B 相对于 A 的位置，在 X 方向相对坐标为（xB－xA），即两点对 W 面，也就是左右方向的距离（横标）差。Y 方向的相对坐标为（yB－yA），即两点对 V 面，也就是前后方向的距离（纵标）差。Z 方向的相对坐标为（zB－zA），即两点对 H 面也就是高度方向的距离（高标）差。 W H V 后前下上左右下上左右后前 b'' B A B B A A y y x x z z '' ' ' '' '' ' ' b A B b b b b O a a a YH X Yw Z O a a a Y Z X a） b）图 2-9 两点的相对位置的确定由于 xA＞xB，则（xB－xA）为负值，即点 A 在左，点 B 在右。由于 yB＞yA，则（yB－yA）为正值，即点 B 在前，点 A 在后。由于 zB＞zA，则（zB－zA）为正值，即点 B 在上，点 A 在下。 2.重影点的投影当两点的某两个坐标值相同时，该两点处于同一条投射线上，因而对某一投影面具有重合的投影，这两点称为对该投影面的重影点。如图 2-10 所示 C、D 两点， X Z Y a x z y a a a a a X A A A Y Z X Y Z a a a A z a X a X y xA a O aY YH A aY YW a A aZ Z O O ' '' ' '' ' W '' H 45° a） b） c）图 2-8 根据点的投影图画出轴测图

1.几何分析如图2-12所示为一处于H/N投影面体系中的倾斜线AB,现过A作AB,∥ ab,即得一直角三角形ABB,它的斜边AB即为其实长，AB:=b,BB:为两端点A、B的：图212直角三角形法求实长及顿角坐标差(B一：4)，AB与AB的夹角即为AB对H面的倾角a。由此可见，根据倾斜线AB的投影，求实长和对H面的倾角，可归结为求直角三角形ABB的实形。如过A作AB:∥ab',则得另一直角三角形ABB2,它的斜边AB即为实长，AB2=a'b', BB:为两端点A、B的y坐标差(y一)，AB与AB:的夹角即为AB对V面的倾角B。因此只要求出直角三角形ABB:的实形，即可得到AB的实长和对投影面的倾角B。 2.作图方法求直线AB的实长和对H面的倾角a可应用下列两种方式作图（图2-12b): (1)如图2-12所示，过b作ab的垂线bBo,在此垂线上量取bB。=一4，则aB即为所求直线的实长，∠Boab即为a角。 (2)过a作X轴的平行线，与bb相交于bo(bbo=B一4)，量取b4o=ab,则bA 也是所求直线的实长，∠b4,b即为a角。同理，如图2-12c所示，以ab'直角边，以一以为另一直角边，也可求出AB的实长 (bA。=AB),而斜边bA与ab的夹角即为AB对V面的倾角B,类似做法，使aB。=ab, 则aB。=AB,∠aBa也反映B角。直线对侧面的倾角y请自行求出。 3.应用作图举例如图2-13所示，已知直线AB的实长L和ab'及a,求水平投影ab 分析：如求出了ab长度，或增一的值，就可确定b。根据直角三角形法，可以分析想象由己知的ab和实长L能组成一直角三角形，并画出该三角形（图2-13C),标记直角边ab'和斜边L,然后分析αb'和L的夹角和另一直角边各表示什么，弄清后即可得到解题思路。作图方法一： (1)由b'点作X轴的垂线bb。 (2)由a点作X轴平行线与b'b相交于b,延长ab至Ao,使baA=ab'。 (3)以A。为圆心，实长L为半径画圆弧交bb于b1或b2,即可求出水平投影ab或ab 两解，如果取后面一解，则B点处于第Ⅱ分角。 72

72 1.几何分析如图 2-12 所示为一处于 H/V 投影面体系中的倾斜线 AB，现过 A 作 AB1∥ ab，即得一直角三角形 ABB1，它的斜边 AB 即为其实长，AB1＝ab，BB1 为两端点 A、B 的 z 坐标差（zB－zA），AB 与 AB1 的夹角即为 AB 对 H 面的倾角α。由此可见，根据倾斜线 AB 的投影，求实长和对 H 面的倾角，可归结为求直角三角形 ABB1 的实形。如过 A 作 AB2∥a'b'，则得另一直角三角形 ABB2，它的斜边 AB 即为实长，AB2＝a'b'， BB2 为两端点 A、B 的 y 坐标差（yB－yA），AB 与 AB2 的夹角即为 AB 对 V 面的倾角β。因此，只要求出直角三角形 ABB2 的实形，即可得到 AB 的实长和对投影面的倾角β。 2.作图方法求直线 AB 的实长和对 H 面的倾角α可应用下列两种方式作图（图 2-12b）：（1）如图 2-12 所示，过 b 作 ab 的垂线 bB0，在此垂线上量取 bB0＝zB－zA，则 aB0 即为所求直线的实长，∠B0ab 即为α角。（2）过 a'作 X 轴的平行线，与 b'b 相交于 b0（b'b0＝zB－zA），量取 b0A0＝ab，则 b'A0 也是所求直线的实长，∠b'A0b0 即为α角。同理，如图 2-12c 所示，以 a'b'直角边，以 yB－yA 为另一直角边，也可求出 AB 的实长（b'A0＝AB），而斜边 b'A0与 a'b'的夹角即为 AB 对V 面的倾角β 。类似做法，使 a0B0＝a'b'，则 aB0＝AB，∠aB0a0 也反映β角。直线对侧面的倾角γ请自行求出。 3.应用作图举例如图 2-13 所示，已知直线 AB 的实长 L 和 a'b'及 a，求水平投影 ab。分析：如求出了 ab 长度，或 yB－yA 的值，就可确定 b。根据直角三角形法，可以分析、想象由已知的 a'b'和实长 L 能组成一直角三角形，并画出该三角形（图 2-13c），标记直角边 a'b'和斜边 L，然后分析 a'b'和 L 的夹角和另一直角边各表示什么，弄清后即可得到解题思路。作图方法一：（1）由 b'点作 X 轴的垂线 b'b1。（2）由 a 点作 X 轴平行线与 b'b1 相交于 b0，延长 ab0 至 A0，使 b0A0＝a'b'。（3）以 A0 为圆心，实长 L 为半径画圆弧交 b'b1 于 b1 或 b2，即可求出水平投影 ab1 或 ab2 两解，如果取后面一解，则 B 点处于第Ⅱ分角。 X Z a X a b b b a z A B X b a b a ' ' ' ' ' ' B a' b' z z z B A A B zB zA zB－zA 2 B1 A B b ab 0 0 0 0 实长实长 a b a 实长实长 y yA B yB yA A0 B0 o o o V H a） b） c）图 2-12 直角三角形法求实长及倾角

《画法几何与工程制图》课程教学资源（教材讲义）第02章 几何元素的投影

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