试卷代号：1080 座位号☐ 中央广播电视大学2009一2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷） 工程数学（本）试题 2010年7月 题 号 二 三 四 总 分 分 数 得 分 评卷人 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.设A,B都是n阶方阵，则下列命题正确的是(). A.AB=AB B.(A-B)2=A2-2AB+B2 C.AB=BA D.若AB=O,则A=O或B=O > 1 0 2.向量组 0 一】 一3 的秩是( 0 3 A.1 B.3 C.2 D.4 3.n元线性方程组，AX=b有解的充分必要条件是( ) A.r(A)=r(A:b) B.A不是行满秩矩阵 C.r(A)<n D.r(A)=n 4.袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球 的概率是(). B.10 c品 P. 2是 570
试卷代号 8 0 座位号 中央广播电视大学 2010 学年度第二学 放本 末考 工程数学(本)试题 2010 题号 总分 分数 得分|评卷人 一、单项选择题(每小题 3分，本题共 5分) 1.设 阶方 ). A. IABI = IAIIB[ B. (A-B)2=A2-2AB+B2 C. AB = BA 1l阳 2 D. 2. 组101 ，1-11 ，121 ，1 一31 ). A.l C.2 O °I 13 7 B. 3 D.4 3. 程组 有解 充分必要 ). A. r(A)=r(A : b) B. 满秩矩 阵 C. r(A)<n D. rCA) =n 4. 有3 红球 ，2 第 一 次取 球后放 二次 取一球 两球都是 的概率是( ). 570 A. 25 c.立20 B.3- 10 D-9- 25
5.设x1,x2,…,xm是来自正态总体N(以，o2)的样本，则( )是μ无偏估计. 41 B.x1+x2十x3 1 C十写十多 1 D. 53 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）】 1.设A,B均为3阶方阵，A|=2,B=3,则|一3A'B-1|= 2.设A为n阶方阵，若存在数入和非零n维向量x,使得 ,则称入为A 的特征值. 0 1 27 3.设随机变量X~ ,则a= 0.20.5a 4.设X为随机变量，已知D(X)=3,此时D(3X一2)= 5.设0是未知参数0的一个无偏估计量，则有 得分 评卷人 三、计算题（每小题16分，共64分） 个 -127 2-157 1.设矩阵A= 2 -3 ,B= ,且有AX=B,求X. \0 11 3 -24 x1一3x2十x3-x4=1 -2x1+7x2-2x3十x4=-2 2.求线性方程组 的全部解。 x1-4x2十3x3+2x4=1 2x1-4x2+8x3十2x4=2 3.设X~N(3,4),试求(1)P(57).（已知Φ(1)=0.8413，Φ(2)= 0.9772,Φ(3)=0.9987) 571
5. ,X2 , ..• ，凡是来自正态总体N怡， )的样本，则( )是 μ元偏估计. 1 , 1 , 1 A. 5 : -. . 5-;:- -"X? 十 L ' 5-' 1 , 1 , 3 C.-L5 -. ' 5 -" 十-L ' 5δ 得分|评卷人 B. Xl 工2+ X3 2 , 2 , 2 D-L --=- X "::l 5 -. ' 5 -" ' 5δ 二、填空题{每小题 3分，共 5分} 1.设 B均为 3阶方阵， =2 , IBI =3 则1-3A'B- 11 = 2. 设A 若存 使得 的特征值. o 1 2 • ，则称 3. 量X~ O. 2 O. 5 a ，则 • 4. 设X 为 随机变 A 5. 是未 参数 估计量 则 有 得分|评卷人 三、计算题(每小题 6分，共 4分) • • 1 1.设矩阵 12 3 -1 2 2 5 ,B = 2 4 Xj- X2 1 5 1 1 ，且有 2Xj 十7xZ-2x3 十x4=-2 2. 线性方程 部解 Xj- X2 = 1 2Xj -4X2 +8X3 十2x =2 3. 设X~ T ( )，试求 l) 7) (已知 (1 8 4 3， = O. 9772 ，φ0)=0.9987) 571
4.据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度X~N(32.5,1.21),今从这批砖中随机 地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg/cm2)的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合 格(a=0.05,o.975=1.96)? 得 分 评卷人 四、证明题（本题6分） 设A,B是n阶对称矩阵，试证：A十B也是对称矩阵. 572
4. 厂生产 其抗 ~ N 3 2 1. 这批 地抽取了 强度 kg/cm 为3 1.12 这批砖 抗 断 度是 否合 05 ,UO.97S= 1. 96)? 得分|评卷人 四、证明题(本题 B是 n阶对称矩阵，试证 B也是对称矩阵. 572
试卷代号：1080 中央广播电视大学2009一2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷） 工程数学（本） 试题答案及评分标准 (供参考) 2010年7月 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.A 2.B 3.A 4.D 5.C 二、填空题（每小题3分，本题共15分】 1.-18 2.Ax=λx 3.0.3 4.27 5.E(0)=0 三、计算题（每小题16分，本题共64分）】 1.解：利用初等行变换得 1-121007 -1 21007 2-35010+0 -1 1-210 3-24001 0 -2 -301 [1-1 10 0 -1 21 0 07 +0-1 1 -2 1 0 →10 -1 2 -1 0 0 0 -1 -5 110 0 1 5 -1 -1 1-1 -9 2 100 -2 0 1 +0 0 -2 -1 +0 10 -2 -1 0 0 1 5 -1 -1 0 01 5 -1 -1 -2 即A1= 7 -2 一1 ……10分 -1-1 573
试卷代号 0 8 0 中央广播电视大学 2010 学年 度 开放 半 开 工程数学(本)试题答案及评分标准 (供参考) 2010 年7 -、单项选择题{每小题 3分，本题共 5分) 1. A 2. B 3. A 二、填空题(每小题 3分，本题共 5分) 1. -18 4. D 5. C 2. Ax=).x 3. O. 3 4. 27 nu nuti'inuqL14 nu'Inu ool---- -nunu-- -irFF27 t1.211 5 -1 -1 573
由矩阵乘法和转置运算得 「-2 0 2 0 17 X=A-B'- 7 11 -3 16分 5 51 -2 2.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 1-3 1 -1 17 -31 -1 17 -2 7 -2 -2 0 1 0 -10 → 1-4 3 2 0 -12 30 2 -4 2 2 26 40 1 -3 1 -1 17 1-31 -117 0 1 0 -10 0 10-10 0 0 2 20 0 02 20 0 06 60 00 00 方程组的一般解为 x1=1十5x4 x2=x4 (其中x4为自由未知量) x3=一x4 令x4=0,得到方程的一个特解X。=(1000)'. 方程组相应的齐次方程的一般解为 x1=5x4 x2=x4(其中x:为自由未知量) I3=-Is 令x:=1,得到方程的一个基础解系X1=(51一11)'. 于是，方程组的全部解为 X=X。十kX(其中及为任意常数)…16分 8解：P5<X<9)=P23<X23<92)=P1<X23<3) =(3)-Φ(1)=0.9987-0.8413=0.1574…8分 574
由矩阵乘法和转置运算得 -2 O 2 0 1 l X=A-l B' = I 7 -2 一111-1 1 11 -31 … … … … … … … … … … …16 5 -1 一1 5 1 6 -2 2. 将方程 增广 1 -3 1 -1 1 1 -3 一1 1 7 -2 一2 O 1 一1 0 1 -4 o -1 2 2 -4 3 8 2 2 1 2 -噜. O 2 6 3 0 4 0 1 -3 一1 1 1 -3 1 -1 1 O 1 0 -1 0 O 1 0 -1 0 -唱， O O o 2 o 6 2 0 6 0 -+ O O o 2 o 0 2 0 o 0 方程组的一般解为 Xl =1 XZ=X4 Z3== X4 (其中均为自由未知量) =0 个特 O O)F. 方程组相应的齐次方程的一般解为 ~- ZI= :> Xz =X4 (其中且为自由未知量) =-X4 = 个基 系Xj=(5 1 -1 1)'. 于是，方程组的全部解为 X=X (其中走为任意常数)…………………………………………………… 3. (1 )P(5< X< 9) = PI15-3 _X -3 _9-3一)=P 、Y (1 \2 ~2 ~2J =φ(3) 一φ(1)=0.9987-0.8413=0.1574 … … … … … … …8 574
2p(X>7)=P(X23723) =P(X23>2)=1-P(X23≤2) =1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228 16分 4.解：零假设H。:μ=32.5.由于已知σ2=1.21，故选取样本函数 U=二'~N(0.1) 4分 G/n 已知x=31.12,经计算得 后-0.37 31.12-32.5 0.37 =3.73 由已知条件o.975=1.96, =3.73>1.96=4o.975 故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格. 16分 四、证明题（本题6分） 证明：A,B是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知 (A+B)'=A'+B 已知A,B是对称矩阵，故有A'=A,B'=B,即 (A十B)'=A+B 由此可知A十B也是对称矩阵，证毕。…………6分 57
fX-3_ 7-3\ (2)P(X>7)=P( "::: \ 2 2 J X-3_~ . ~， =P( 一>2)=1-P( =1 一φ(2)=1 一O. 9772 = O. 0228 … … … … … … … … …16 4. 设H : μ=32.5. 知σ2= 1. 21 故选取 u= 1!. ~ N 1) .;n 已知王 1. 1 2，经计算得 1. 1 _ ~_ I 仨= ~:- = O. 37 , 一一 -J9 由已知条件 975 = 1. 96 , 31. 12-32.5 0.37 =3.73 主二主 7 3 1. 96=uO.975 故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格.………………………. .......…………. 16 四、证明题(本题6分) 证明 B是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知 (A+ B)' =A' 十B' 已知 B是对称矩阵，故有 =A ,B' =B (A+B)'=A 由此可知 B也是对称矩阵，证毕.………………………………………………… ,) 7;)