■第二章随机信号分析 21随机过程的基本概念 2.2平稳随机过程 2.3高斯过程 2.4窄带随机过程 2.5随机过程通过线性系统
1 第二章 随机信号分析 2.1 随机过程的基本概念 2.2 平稳随机过程 2.3 高斯过程 2.4 窄带随机过程 2.5 随机过程通过线性系统
2.1随机过程的基本概念 随机过程是时间t的函数 在任意时刻观察,它是一个随机变量 随机过程是全部可能实现的总体
2 2.1 随机过程的基本概念 ◼ 随机过程是时间t的函数 ◼ 在任意时刻观察，它是一个随机变量 ◼ 随机过程是全部可能实现的总体
随机过程 2.5 5 -0.5 -1.5 10 15
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分布函数与概率密度: 设(1)表示一个随机过程,5(1)(t为任意时刻)是 个随机变量。定义: F1(x,t)=P{5(1)x1} 2(t)的一维分布函数 如果存在OF(x1,4)=f(x1,4) Ox 则称之为5()的一维概率密度函数
4 分布函数与概率密度： ◼ 设 表示一个随机过程， （t1为任意时刻）是一 个随机变量。定义： F1（x1，t1）=P{ ≤x1} 的一维分布函数 ◼ 如果存在 ◼ ◼ 则称之为 的一维概率密度函数 (t) ( ) 1 t ( ) 1 t (t) ( , ) ( , ) 1 1 1 1 1 1 1 f x t x F x t = (t)
(1)的n维分布函数 F(x,x,…,x;1t1…)=P{()≤x,(t)≤x2…;(t)≤xn} n维概率密度函数 O"F(x1,x2,…xn;t1,t2,…,Ln) OxOx2…O 1323 xn212 n越大,Fn,fn描述5()的统计特性就越充分
5 的n维分布函数 n维概率密度函数 n越大，Fn，fn描述 的统计特性就越充分 n n n n n F (x , x , , x ;t ,t , ,t ) = P{ (t ) x , (t ) x , , (t ) x 1 2 1 2 1 1 2 2 n n n n n x x x F x x x t t t 1 2 1 2 1 2 ( , , ; , , , ) ( , , ; , , , ) n 1 2 n 1 2 n = f x x x t t t (t) (t)
数学期望与方差 E[()。xf(x,t)x=a(t) D[()]=E{()-E[5()}2 =E[2()2E()1=o2(t) 协方差函数与相关函数 用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量 的统计相关特性 协方差B(t1,t2)=E{5(t1)-a(t)(t2)a(t2)]} =[x1-a(t1)x2-a(2)f(x2x2t1,1)xx2
6 数学期望与方差 E[ ]= D[ ]=E{ -E[ ] }2 =E[ ]2 -[E ]2 = 协方差函数与相关函数 用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量 的统计相关特性 协方差 B（t1，t2）=E{[ -a（t1）][ -a（t2）]} = ( , ) ( ) 1 xf x t dx = a t − (t) ( ) 2 t (t) (t) (t) (t) (t) − − − [ ( )] 1 1 x a t ( ) 1 t ( ) 2 t 2 2 2 1 2 1 2 1 2 [x − a(t )] f (x , x ;t ,t )dx dx
相关函数R(t,t2)=E[(t1)() -oxx,f(x,x,; tu, t, )dx,dx B(t1,t2)=R(t1,t2)-B(1)F(2)] 5(),m()表示两个随机过程 互协方差函数 B(t1,t2)=E{[5(4)-a2(1)7(t2)-an(2)]} 互相关函数 Rn(t1,t2)=E[5(1)7(t2)
7 相关函数 R（t1，t2）=E[ ] = B（t1，t2）=R（t1，t2）-E[ ] E[ ] ， 表示两个随机过程 互协方差函数 互相关函数 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x x f (x , x ;t ,t )dx dx − − ( ) 1 t ( ) 2 t ( ) 1 t ( ) 2 t (t) (t) ( , ) 1 2 B t t = E{[ (t 1 ) − a (t 1 )][(t 2 ) − a (t 2 )]} ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 R t t E t t =
22平稳随机过程 任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关 f,(x1,X2,……xn;1,2,……,Ln f(x1,x2…x;t1+,2+ t +C (1) 任意的n和因此,一维分布与无关,二维分布只与t1,t2间隔 有关 均值E[2(t)=xf(x,t)bx=xf(x)ax=a(2) 方差E[2(t)-a(t)]=(x-a)2f(x,t)x Lo( -a)f(x)dx=o (3) 相关函数R(t,t2)=Jn。x1x2f2(x1,x2;12,t2)hx1dx2 =R(t1-t2)=R(z) 8(4)
8 2.2 平稳随机过程 任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关 ( , , ; , , , ) n 1 2 n 1 2 n f x x x t t t ( , , ; , , , ) 1 2 1 2 = + + + n n n f x x x t t t 任意的n和 因此，一维分布与t无关，二维分布只与t1，t2间隔 有关。 均值 （2） 方差 （3） 相关函数 R（t1，t2）= （4） （1） = E[ (t)] − xf (x,t)dx= = − xf (x)dx a 2 E[(t) − a(t)] = − − (x a) f (x,t)dx 2 = − = − 2 2 (x a) f (x)dx 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x x f (x , x ;t ,t )dx dx − − ( ) ( ) = R t 1 − t 2 = R
均值,方差与时间无关 相关函数只与时间间隔有关 满足(2),(3),(4)称为广义平稳(宽平稳) 满足(1)称为狭义平稳(严平稳) 时间平均:取一固定的样本函数(实现)对时间取 平均x(t)为任意实现 1 ∫3x(t)at lim∫3[x(t)-a]2at 2 lim x(t)x(t+r)dt=R(T) T 9
9 均值，方差与时间无关 相关函数只与时间间隔有关 满足（2），（3），（4）称为广义平稳（宽平稳） 满足（1） 称为狭义平稳 （严平稳） 时间平均：取一固定的样本函数（实现）对时间取 平均 x（t）为任意实现 = → − 2 2 ( ) 1 lim T T T x t dt a T 2 2 2 2 [ ( ) ] 1 lim − = → − T T T x t a dt T + = → − 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 lim T T T x t x t dt R T
平稳随机过程5(t),其实现为x1(t),x2(t), xn(t),如其时间平均都相等,且等于统计平均 即a=a R(T=R(T) 则称平稳随机过程5()具有各态历经性。 各态历经性可使统计平均转化为时间平均, 简化计算
10 平稳随机过程 ，其实现为x1（t），x2（t）， …xn（t），如其时间平均都相等，且等于统计 平均， 即 a= 则称平稳随机过程 具有各态历经性。 各态历经性可使统计平均转化为时间平均， 简化计算。 (t) a 2 2 = R( ) = R( ) (t)