线性相关和线性无关 山东理工大学数学学院-周世样 2018年9月16日 目录 1向量的概念理解 11什么是向量 。，·。·。，·，。，。，·。,， 2 12向量空间.·.···。·. 2线性表示 21线性相关与线性无关····， 3 22线性相关和线性表示.·。····。·····。··。··。4 3向量组的秩与极大无关组 5
Ç5É'⁄Ç5Ã' Ï¿nÛåÆÍÆÆ– ±å 2018c9 16 F 8¹ 1 ï˛Vgn) 2 1.1 üo¥ï˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 ï˛òm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Ç5L´ 3 2.1 Ç5É'ÜÇ5Ã' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Ç5É'⁄Ç5L´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 ï˛|ùÜ4åÃ'| 5 1
1向量的概念理解 鉴于本部分内容比较抽象，所以花了一点时间写一个文档帮助大家理 架 1向量的概念理解 1.1什么是向量 向量与标量相反，用来表征有方向还有大小的量。力是有大小有方向 1.平面几何中，我们建立直角坐标系后，任何一个向量就可以用二维坐 标表示，如(x1,2小 2.复数a+bi也是一个向量！ 3.立体几何中，我们建立三维直角坐标系后，任何空间中的一点(1,2,3，也 是一个向量 4.一个线性方程a111十a122十十a1nn=b,可以用向量来表 达(a1,a12,.,a1n,b). 5.向量在线性代数中就好像是一个C语言的数组，长度就是向量的维数， 2维向量的集合可以表示平面，3维向量的集合表示我们人类所处的空 间，n>3维向量组成的集合我们没法看见，只能想象。 6.第二章是讲矩阵的，为何停下来讲抽象的向量呢？因为把矩阵拆开来 看，每一行，每一列就正好是一个向量。通过研究矩阵的行向量之间 的内在关系，我们可以从微观的角度来理解矩阵的性质。 1.2向量空间 1.我们每一个人也是生活在空间中，空间就是集合，单纯的集合没有什 么难理解的，但空间就不一样了，我们数学上有神奇的空间了，概率 空间，希尔伯特空间，巴拿赫空间，拓扑空间。可以说，我们的研究 对象都处于某个空间中，有自己独特的性质：有一种非欧几何是研究 球面几何的，跟我们感觉的欧氏几何不一样，在球面上三角形的三个 内角和不是180度，实际上人类和蚂蚁一样都生活在地球上，地球是 一个球，所谓的平面只是相对的，爱因斯坦发现了相对论，说明时空 2
1 ï˛Vgn) Åu ‹©SN'ƒñߧ±s ò:ûmòá© êœå[n )" 1 ï˛Vgn) 1.1 üo¥ï˛ ï˛ ÜI˛Éáß^5LkêïÑkå˛"Â¥kåkêï " 1. ²°A¤•ß·ÇÔ·ÜãIXß?¤òáï˛“å±^ëã IL´ßX(x1, x2). 2. EÍa + biè¥òáï˛ú 3. ·NA¤•ß·ÇÔ·nëÜãIXß?¤òm•ò:(x1, x2, x3),è ¥òáï˛. 4. òáÇ5êßa11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = bßå±^ï˛5L à(a11, a12, · · · , a1n, b). 5. ï˛3Ç5ìÍ•“–î¥òáCäÛÍ|ß›“¥ï˛ëÍß 2ëï˛8‹å±L´²°ß3ëï˛8‹L´·Ç 3 ëï˛|§8‹·Çv{wÑßêUéñ" 6. 1Ÿ¥˘› ßè¤ e5˘ƒñï˛Qºœèr› m5 wßzò1ßzò“–¥òáï˛"œLÔƒ› 1ï˛Ém S3'Xß·Çå±lá*›5n)› 5ü" 1.2 ï˛òm 1. ·Çzòá<è¥)¹3òm•ßòm“¥8‹ß¸X8‹vkü oJn)ßòm“ÿò ß·ÇÍÆ˛k ¤òm ßV« òmßFÀAòmßn<‚òmߡ¿òm"å±`ß·ÇÔƒ Èñ—?u,áòm•ßkgC’A5üµkò´öÓA¤¥Ôƒ •°A¤ßã·Ça˙ÓºA¤ÿòß3•°˛n/ná S⁄ÿ¥180 ›ß¢S˛<a⁄Ȩò—)¹3/•˛ß/•¥ òá•ß§¢²°ê¥ÉÈßOœd"uy ÉÈÿß`²ûò 2
2线性表示 是弯曲的。我们要想有创造力，就需要不断地向前人挑战，用怀疑的 眼光看问题。 2.大家学过高数，对于实数集R感觉很自然，两个实数拿来就可以做加 减乘除运算，我们整个高数也是讲实数理论的。线性空间是研究向量 的，在向量空间中，向量之间的运算很简单，只有加法和数乘，运算 规则也跟实数类似。也有很多实数理论没有的性质，向量的长度，向 量的夹角，向量的点积，叉积。不过越是限制越少的东西的适用范围 越广，更具普遍意义，所以比较抽象一些。 3.单纯的集合不能叫空间，集合中的元素如果有某种特定的结构就叫空 间了，比如线性空间，就是元素之间的运算关系满足线性性，对加法 运算封闭，对数乘运算封闭。比如， ={1,2,g,.,n)2,x3,.,n∈R} 这个向量集合就不是线性空间。 2线性表示 设a1,·,am是一组向量，如果存在常数X1,·,入m使得，a=入1a1+ .十入a,称a可由向量组a1, ·,am线性表示。 想想看，为什么要定义这个概念，在解线性方程组过程中，如果有某 个方程可以由其他方程线性表示的话，这个方程就可以去掉，不影响最终 方程组的解。后面的线性相关和线性无关都是建立在这个概念基础之上 的。 2.1线性相关与线性无关 线性相关与线性无关是建立向量空间结构与线性方程组理论的基础， 是线性代数学最重要的概念，来源于向量的共线与共面。 1.若a,3为两个共线向量，则存在不全为0的实数k1,2,使得k1a+2B 2.若a,B,y为三个共面向量，则存在不全为0的实数k,k2,k,使得k1a+ k2+k=0
2 Ç5L´ ¥ "·ÇáékMEÂß“Iáÿ‰/ïc<]‘ß^~¶ ˙1wØK" 2. å[ÆLpÍßÈu¢Í8Ra˙Èg,߸á¢Í<5“å±â\ ~¶ÿ$éß·ÇápÍè¥˘¢Ínÿ"Ç5òm¥Ôƒï˛ ß3ï˛òm•ßï˛Ém$éÈ{¸ßêk\{⁄Ͷß$é 5Kèã¢Íaq"èkÈı¢Ínÿvk5üßï˛›ßï ˛Yßï˛:»ß»"ÿL¥Åõ¿‹·^âå 2ßç‰ Hø¬ß§±'ƒñò " 3. ¸X8‹ÿUòmß8‹•ÉXJk,´A½(“ò m ß'XÇ5òmß“¥ÉÉm$é'X˜vÇ55ßÈ\{ $éµ4ßÈͶ$éµ4"'Xß V1 = {(1, x2, x3, · · · , xn)|x2, x3, · · · , xn ∈ R} ˘áï˛8‹“ÿ¥Ç5òm" 2 Ç5L´ α1, · · · , αm¥ò|ï˛ßXJ3~Íλ1, · · · , λm¶ßα = λ1α1 + · · · + λnαn,°αådï˛|α1, · · · , αmÇ5L´" ééwßèüoὬ˘áVgß3)Ç5êß|Lß•ßXJk, áêßå±dŸ¶êßÇ5L´{ߢáêß“å±KßÿKèÅ™ êß|)"°Ç5É'⁄Ç5Ã'—¥Ô·3˘áVgƒ:ɲ " 2.1 Ç5É'ÜÇ5Ã' Ç5É'ÜÇ5Ã'¥Ô·ï˛òm(ÜÇ5êß|nÿƒ:ß ¥Ç5ìÍÆÅáVgß5 uï˛ÇÜ°" 1. eα, βè¸áÇï˛ßK3ÿ è0¢Ík1, k2,¶k1α + k2β = ¯0. 2. eα, β, γèná°ï˛ßK3ÿ è0¢Ík1, k2, k3,¶k1α + k2β + k3γ = ¯0. 3
2.2线性相关和线性表示 2线性表示 3.反之，若a,B为两个不共线向量，存在实数k1,2,使得k1a+2B=0 则k1=2=0.若a,By为三个不共面向量，存在实数k1,2.使 得k1a+k2B+7=0,则k1=2=k3=0. 书上定义： 定义1.设有n维向量组a1,·,am,如果存在不全为零的m个数k1,·,km使 得，1a1+.+km0m=0,则称向量组a1, ,m线性相关。如果上式仅 当=.=km=0时才成立，称向量组钱性无关。 结论1.换句话说，当零向量用a1,.,am线性表示，表达式不唯一时 a,.,am线性相关：而当零向量用a1,.,am线性表示，且表达式唯 时，全为零，1，.，m线性无关。这个说法还是有点抽象，不好理解，放 弃了这种解释也没有关系。 2.2 线性相关和线性表示 若a1,.,am线性相关，则存在不全为零的m个常数1，·，km使得， k1a1+ +kmm=0,不妨设k≠0，移项后，则显然有，a可以由其他的 向量线性表示出来。 结论2.若a1,.,m线性相关，则向量组中至少有一个向量能由其他m 1个向量钱性表示，逆命题也成立。 如果向量组是钱性无关的，很明显任何一个向量都不能由其他向量线 性来表示。线性无关有点像概率上的独立性概念。 学数学，最忌背条条框框，这一部分定义性质特多，需要我们把书由 厚读薄，遵循“具体-一抽象一具体”的认识观。以后凭感觉就可以做题了。 下面的结论，自己去理解一下：教材P45页。 1.只有一个向量α的向量组，当时它a=0时是钱性相关的，当a≠0时 是线性无关的 2.对含有两个向量a1,2的向量组，线性相关的充要条件是它们对应分 量成比例 3.含有零向量的向量组必钱性相关。 4.向量组的部分组线性相关，则整个向量组更是线性相关
2.2 Ç5É'⁄Ç5L´ 2 Ç5L´ 3. áÉßeα, βè¸áÿÇï˛ß3¢Ík1, k2,¶k1α + k2β = ¯0ß Kk1 = k2 = 0.eα, β, γènáÿ°ï˛ß3¢Ík1, k2, k3,¶ k1α + k2β + k3γ = ¯0ßKk1 = k2 = k3 = 0" ÷˛½¬µ ½¬1. knëï˛|α1, · · · , αmßXJ3ÿ è"máÍk1, · · · , km¶ ßk1α1 + · · · + kmαm = ¯0,K°ï˛|α1, · · · , αmÇ5É'"XJ˛™= k1 = · · · = km = 0û‚§·ß°ï˛|Ç5Ã'" (ÿ1. ÜÈ{`ß"ï˛^α1, · · · , αmÇ5L´ßLà™ÿçòûß α1, · · · , αmÇ5É'¶ "ï˛^α1, · · · , αmÇ5L´ßÖLà™çò ûß è"ßα1, · · · , αmÇ5Ã'"˘á`{Ñ¥k:ƒñßÿ–n)ßò Ô ˘´)ºèvk'X" 2.2 Ç5É'⁄Ç5L´ eα1, · · · , αmÇ5É'ßK3ÿ è"má~Ík1, · · · , km¶ß k1α1 + · · · + kmαm = ¯0ßÿîki 6= 0,£ëßKw,kßαiå±dŸ¶ ï˛Ç5L´—5" (ÿ2. eα1, · · · , αmÇ5É'ßKï˛|•ñkòáï˛UdŸ¶m − 1áï˛Ç5L´ß_·K觷" XJï˛|¥Ç5Ã'ßȲw?¤òáï˛—ÿUdŸ¶ï˛Ç 55L´"Ç5Ã'k:îV«˛’·5Vg" ÆÍÆßÅR^^µµß˘ò‹©½¬5üAıßIá·Çr÷d ˛÷ßÑÃ/‰N–ƒñ–‰N0@£*"±³a˙“å±âK " e°(ÿßgCn)òeµ·P45ê" 1. êkòáï˛αï˛|ßûßα = ¯0û¥Ç5É'ßα 6= ¯0û ¥Ç5Ã'" 2. ȹk¸áï˛α1, α2ï˛|ßÇ5É'øá^á¥ßÇÈA© ˛§'~" 3. ¹k"ï˛ï˛|7Ç5É'" 4. ï˛|‹©|Ç5É'ßKáï˛|ç¥Ç5É'" 4
3向量组的秩与极大无关组 定理2.1.若A:a1,0m钱性无关，而B:1,.,am,b线性相关，则b必 定能有向量组A线性表示，且表达式唯一。 也就是过对千一个无关组增加一个向最后相关了则增加的向量可 以由这个无关组线性表示出来，增加的这个向量的信息可以由无关组刻 画。 例1.设向量a1,02,ag线性相关，向量组a2,0g,04线性无关，证明： 1.a1能由向量a2,a3钱性表示： 2.a4不能由向量a1,2,ag线性表示。 定理2.2.若A:a1,·,am线性相关，齐次线性方程组x11十.+xmQm= 0有非零解，也即是矩阵A的秩小于m 这个方程组的写法是按矩阵的乘法来写的，可能不预习的同学现在看 不懂，以后再回来理解吧。 这个定理现在讲有点早，秩的概念在讲矩阵标准型的时候提过，一些 同学不一定听进去了。 定理2.3.m个n维向量所组成的向量组，当维数n小于向量的个数m时，一 定线性相关，特别地，n+1个n维向量一定线性相关。 想象一下，3个2维向量处在同一个平面上，一定共面。 n个未知量n+1个方程的齐次线性方程组，一定有方程是多余的，可 以约掉。 3向量组的秩与极大无关组 定义2.向量组A:A中能选出r个向量@1，.，a,满足： 1.向量组A0:a1.,@,线性无关： 2.向量组A中任意r+1个向量都线性相关： 称A0:a1,.,a,是向量组A的一个最大无关向量组。 最大无关组所含的向量个数r称为向量组A的秩，记为rA=r:零向量 组的秩为0 定理31，矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。行 秩等于列秩。秩是矩阵的不变量，矩阵做行初等变换后，秩不会变。 6
3 ï˛|ùÜ4åÃ'| ½n2.1. eA : α1, · · · , αmÇ5Ã'ß B : α1, · · · , αm, bÇ5É'ßKb7 ½Ukï˛|AÇ5L´ßÖLà™çò" è“¥`ÈuòáÃ'|ßO\òáï˛É' ßKO\ï˛å ±d˘áÃ'|Ç5L´—5ßO\˘áï˛&Eå±dÃ'|è x" ~1. ï˛α1, α2, α3Ç5É'ßï˛|α2, α3, α4Ç5Ã'ßy²µ 1. α1Udï˛α2, α3Ç5L´¶ 2. α4ÿUdï˛α1, α2, α3Ç5L´" ½n2.2. eA : α1, · · · , αmÇ5É'߇gÇ5êß|x1α1 + · · · + xmαm = ¯0kö"),è=¥› Aùum" ˘áêß|{¥U› ¶{5ßåUÿ˝S”Æy3w ÿÃß±2£5n)j" ˘á½ny3˘k:@ßùVg3˘› IO.ûˇJLßò ”Æÿò½f? " ½n2.3. mánëï˛§|§ï˛|ßëÍnuï˛áÍmûßò ½Ç5É'ßAO/ßn + 1ánëï˛ò½Ç5É'" éñòeß3á2ëï˛?3”òá²°˛ßò½°" náô˛n + 1áê߇gÇ5êß|ßò½kêߥı{ßå ±K" 3 ï˛|ùÜ4åÃ'| ½¬2. ï˛|AµA•U¿—ráï˛α1, · · · , αr˜vµ 1. ï˛|A0 : α1, · · · , αrÇ5Ã'¶ 2. ï˛|A•?ør + 1áï˛—Ç5É'¶ °A0 : α1, · · · , αr¥ï˛|AòáÅåÃ'ï˛|" ÅåÃ'|§¹ï˛áÍr°èï˛|A ùßPèrA = r¶"ï˛ |ùè0. ½n3.1. › ù ußï˛|ùßè uß1ï˛|ù"1 ù uù"ù¥› ÿC˛ß› â1– CÜßùÿ¨C" 5
参考文献 参考文献 结论3.问一个问题：最大无关组是否唯一。 定理3.2.A0:01,.,是向量组A的一个部分组，且满足 1.向量组A0:1,.,a,线性无关： 2.向量组A中任何一个向量都能有向量组A0钱性相关： 称A0:a1,.,a,是向量组A的一个最大无关向量组。 定理3.3.向量组b1,.,b能由向量组1，.，am线性表示的充要条件为： r(a1,.,am)=r(a1,.,am,b1,.,b). 定义3.向量空间V:V的一个最大无关组01，.，an称为向量空间的一个 基，r称为向量空问V的维数，r维的向量空间. V={ala=A1a1+.+a,称V为由向量a1,.,a,所生成的向量 空问，有序数组入，·，入称为在基下的坐标。这个概念可以联想解析几 何，三维空间的基向量是由三个两两垂直的单位向量e1,e2,e组成的，空间 中的任何一个向量都可以由这三个基向量线性表示，三维空间中有无限个 向量，建立了三维坐标系后，就可以以有限代表无穷。 做老师实际上很累人的，自己懂了不行，还得让同学们都懂！ 参考文献 川孟昭为等.线性代数.科学出版社，201302. 园陈怀琛等.实用大众线性代数.西安电子科技大学出版社，201402 刘光旭等.线性代数.清华大学出版社，201404 6
Ωz Ωz (ÿ3. ØòáØKµÅåÃ'|¥ƒçò" ½n3.2. A0 : α1, · · · , αr¥ï˛|Aòá‹©|ßÖ˜vµ 1. ï˛|A0 : α1, · · · , αrÇ5Ã'¶ 2. ï˛|A•?¤òáï˛—Ukï˛|A0Ç5É'¶ °A0 : α1, · · · , αr¥ï˛|AòáÅåÃ'ï˛|" ½n3.3. ï˛|b1, · · · , blUdï˛|α1, · · · , αmÇ5L´øá^áèµ r(α1, · · · , αm) = r(α1, · · · , αm, b1, · · · , bl). ½¬3. ï˛òmV µV òáÅåÃ'|α1, · · · , αr°èï˛òmòá ƒßr°èï˛òmV ëÍßrëï˛òm. V = {α|α = λ1α1 + · · · + λrαr},°V èdï˛α1, · · · , αr§)§ï˛ òmßkSÍ|λ1, · · · , λr°èα3ƒeãI" ˘áVgå±Èé)¤A ¤ßnëòmƒï˛¥dnḸRܸ†ï˛e1, e2, e3|§ßòm •?¤òáï˛—å±d˘náƒï˛Ç5L´ßnëòm•kÃÅá ï˛ßÔ· nëãIXß“å±±kÅìLð" âPì¢S˛È\fâEåÆ—á,201402. [3] 41R .Ç5ìÍ.òuåÆ—á,201404. 6