第九章第四节重积分的应用立体体积曲面的面积三物体的质心四物体的转动惯量五、物体的引力AU-F下页返回结
第四节 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 第九章
能用重积分解决的实际问题的特点分布在有界闭域上的整体量所求量是对区域具有可加性2.用重积分解决问题的方法用微元分析法（元素法）·从定积分定义出发建立积分式3.解题要点画出积分域、选择坐标系、确定积分次序定出积分限、计算要简便公目录机动上页下页返回结束
1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 • 从定积分定义出发 建立积分式 • 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分次序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束
、立体体积一、曲顶柱体的顶为连续曲面 z=f(x,y),(x,J)eD则其体积为z=f(x,J)V= J,f(x,y)dxdy4占有空间有界域Q的立体的体积为D+V= JI.ddxd ydz如：P146例4；P151例6（单一曲顶0000-下页返回结乐
一、立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 = D V f (x, y)dxdy • 占有空间有界域 的立体的体积为 V = dxdydz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o x y z D z = f ( x, y ) 如：P146 例4；P151 例6（单一曲顶）
例1：求由抛物面z=x2+y和圆锥面z=/x2+y围成立体体积(答案:二元-C练习1：求两个旋转抛物面z=x2+y-和z=2-x2-y2所围成的立体体积(答案：元)目录动上页质返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1： 练习 1：
例2.计算椭球体的体积 Va解：利用“截面法”计算-V=dxdydz =2dxdy元abcab(12)dz一A-aE
利用“截面法”计算. V = d x d y d z = Dz c 2 d z d xd y 0 abc 3 4 = = − c z c z ab 0 2 2 2 (1 )d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算椭球体 的体积 V. 解： x y z a b c Dz z
二、曲面的面积设光滑曲面 S:z=f(x,y),(x,y)eD则面积A可看成曲面上各点M(x,y,z)处小切平面的面积dA无限积累而成设它在D上的投影为do，则do = cosy·dACOSy=1+ fx?(x, jy)+ f,2(x, y)dA= /1+ fx'(x,y)+ f,(x,y) doV（称为面积元素小区回结束
M d A z d n 二、曲面的面积 x y z S o 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y,z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , d = cos d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y (称为面积元素) 则 M n d 机动 目录 上页 下页 返回 结束
故有曲面面积公式A= [J /1+ f?(x, y)+f,2(x,y) doOZ即dxdy若光滑曲面方程为 x=g(y,z),(y,z2)εDyz,则有axdxdydzCAE
故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2 = + + D x y A f x y f x y x y y z x z A D 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dy z x = g y z y z 则有 Dy z 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若光滑曲面方程为 y= h(z,x),(z,x)ε Dx,则有d.2y? dzdxozax若光滑曲面方程为隐式 F(x,y,z)=0,且 F,≠0,则FFazaz(x,y)e DFaxa1N22AHdxd y目录机动上页下页返回结束
z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = h z x z x 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 x y z y z x x y D F F y z F F x z = − = − , , ( , ) A = Dx y Dz x z x y z F F F F 2 2 2 + + 且 dx d y 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.计算双曲抛物面z=xy被柱面x2+y2=R2所截出的面积 A解：曲面在xoy面上投影为D:x2+y2<R2,则1+zdxdy+z.一4/1+x? + y?dxdydel/1+p?pdpR2元/(1?A-结乐
例4. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 : , 2 2 2 D x + y R 则 A z z x y D x y 1 d d 2 2 = + + x y x y D 1 d d 2 2 = + + d 1 d 0 2 2 0 = + R [(1 ) 1)] 3 2 2 3 2 = + R − 出的面积 A . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习.计算半径为α的球的表面积asin de解：方法1利用直角坐标方程(教材P109)-de方法2利用球坐标方程asind设球面方程为 r=αadp球面面积元素为1dA=α sindpdedeA=αsin @d@=4元αA机动目录返回结束上页下页
练习. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 设球面方程为 r = a 球面面积元素为 d sin d d 2 A = a = 0 2 0 2 A a d sin d 2 = 4 a a sin ad 方法2 利用球坐标方程. a x y z o d asind 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法1 利用直角坐标方程. (教材 P109)