关系代数概述 关系是一个属性数目相同的元组的集合。 关系代数 Relational Algebra 什么是代数?
1 关系代数概述 ◼ 关系是一个属性数目相同的元组的集合。 ◼ 关系代数 Relational Algebra 什么是代数？
“关系代数”前传 ■数学,从总体上划分: 代数学:研究数的部分; 几何学:研究形的部分; 分析学:沟通形与数且涉及极限运算的部分。 代数学范畴: 算术 ■初等代数 高等代数 ■数论 抽象代数
2 “关系代数”前传 ◼ 数学，从总体上划分： ◼ 代数学：研究数的部分； ◼ 几何学：研究形的部分； ◼ 分析学：沟通形与数且涉及极限运算的部分。 ◼ 代数学范畴： ◼ 算术 ◼ 初等代数 ◼ 高等代数 ◼ 数论 ◼ 抽象代数
“关系代数”前传 算术 (一)、含义 现代小学课程内容的算术,主要讲的是自然数、正分数以 简革们用题茄度玩盘通过由计数和度量而引起的些最 如果是在高等数学中,则有“数论”的含义: (二)发展 10世纪或11世纪,起源于印度;后来被阿拉伯人采用; 之后传到西欧 15世纪,它被改造成现在的形式 19世纪中叶,格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理 体系,来定义加法与乘法运算; (三)地位 深刻地反映了世界的客观规律性; 构成了数学其它分支的最坚实的基础
3 “关系代数”前传 ◼ 一、算术 ◼ (一)、含义 ◼ 现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以 及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最 简单的应用题加以巩固。 ◼ 如果是在高等数学中，则有“数论”的含义； ◼ (二)发展 ◼ 10世纪或11世纪，起源于印度；后来被阿拉伯人采用； 之后传到西欧； ◼ 15世纪，它被改造成现在的形式； ◼ 19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理 体系，来定义加法与乘法运算； ◼ (三)地位 ◼ 深刻地反映了世界的客观规律性； ◼ 构成了数学其它分支的最坚实的基础
关系代数”前传 初等代数 (一)含义 中学数学课程主要内容的初等代数,其中心内容 是方程理论。 代数一词的拉丁文原意是“归位”。 代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向 两个方面扩展的: 增加未知数的个数,考察由有几个未知数的 若干个方程所构成的二元或三元方程组(主要是 次方程组) 2、增高未知量的次数,考察一元二次方程或准 次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基 本上发展完备了
4 “关系代数”前传 ◼ 二、初等代数 ◼ (一)含义 ◼ 中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容 是方程理论。 ◼ 代数一词的拉丁文原意是“归位”。 ◼ 代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向 两个方面扩展的： ◼ 1、增加未知数的个数，考察由有几个未知数的 若干个方程所构成的二元或三元方程组(主要是 一次方程组)； ◼ 2、增高未知量的次数，考察一元二次方程或准 二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基 本上发展完备了
关系代数”前传 初等代数 (二)发展 1、解方程 公元前19世纪~前17世纪,古巴比伦解决一次和二 次方程 公元前4世纪,欧几里得的《原本》中就有用几何形 式解二次方程的方法; 公元1世纪,我国的《九章算术》中有三次方程和 次联立方程组的解法,并运用了负数; 3世纪,丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解 13世纪,我国出现的天元术(李冶《测圆海镜》)是 有关一元高次方程的数值解法; 16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法;
5 “关系代数”前传 ◼ 二、初等代数 ◼ (二)发展 ◼ 1、解方程 ◼ 公元前19世纪～前17世纪，古巴比伦解决一次和二 次方程； ◼ 公元前4世纪，欧几里得的《原本》中就有用几何形 式解二次方程的方法； ◼ 公元1世纪，我国的《九章算术》中有三次方程和一 次联立方程组的解法，并运用了负数； ◼ 3世纪，丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解； ◼ 13世纪，我国出现的天元术(李冶《测圆海镜》)是 有关一元高次方程的数值解法； ◼ 16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法；
关系代数”前传 、初等代数 二)发展 2、代数符号发展三个阶段 代数学符号发展的历史,可分为三个阶段: 三世纪之前,文字叙述代数:对问题的解不用缩写和 符号,而是写成一篇论文 三世纪至16世纪,简化代数:对某些较常出现的量和 运算采用了缩写的方法;丢番图的杰出贡献之一,就 是把希腊代数学简化,开创了简化代数 16世纪以后,符号代数:对问题的解多半表现为由符 号组成的数学速记,这些符号与所表现的内容没有什 么明显的联系。16世纪韦达的名著《分析方法入门》 对符号代数的发展有不少贡献。16世纪末,维叶特开 创符号代数,经笛卡尔改进后成为现代的形式
6 “关系代数”前传 ◼ 二、初等代数 ◼ (二)发展 ◼ 2、代数符号发展三个阶段 ◼ 代数学符号发展的历史，可分为三个阶段： ◼ 三世纪之前，文字叙述代数：对问题的解不用缩写和 符号，而是写成一篇论文； ◼ 三世纪至16世纪，简化代数：对某些较常出现的量和 运算采用了缩写的方法；丢番图的杰出贡献之一，就 是把希腊代数学简化，开创了简化代数。 ◼ 16世纪以后，符号代数：对问题的解多半表现为由符 号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什 么明显的联系。16世纪韦达的名著《分析方法入门》， 对符号代数的发展有不少贡献。16世纪末，维叶特开 创符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的形式
关系代数”前传 初等代数 (二)发展 3、基础符号 ■1489年,魏德曼,“+”、“一”号第一次在数学书中出现; 1514年,由荷伊克开始大家所公认; 1540年,雷科德开始使用现在使用“=” ■1600年,哈里奥特创用大于号“>”和小于号“<”; 1631年,奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符; 1637年,笛卡尔第一次使用了根号,并引进用字母表中头前 的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法 数 公元前4世纪,古希腊人发现无理数; 公元前2世纪(西汉时期),我国开始应用负数 1545年,意大利的卡尔达诺开始使用虚数 1614年,英国的耐普尔发明对数; 17世纪未,一般的实数指数概念才逐步形成
7 “关系代数”前传 ◼ 二、初等代数 ◼ (二)发展 ◼ 3、基础符号 ◼ 1489年，魏德曼，“＋”、“－”号第一次在数学书中出现； ◼ 1514年，由荷伊克开始大家所公认； ◼ 1540年，雷科德开始使用现在使用“＝”； ◼ 1600年，哈里奥特创用大于号“＞”和小于号“＜”； ◼ 1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符； ◼ 1637年，笛卡尔第一次使用了根号，并引进用字母表中头前 的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。 ◼ 4、数 ◼ 公元前4世纪，古希腊人发现无理数； ◼ 公元前2世纪(西汉时期)，我国开始应用负数； ◼ 1545年，意大利的卡尔达诺开始使用虚数； ◼ 1614年，英国的耐普尔发明对数； ◼ 17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成
关系代数”前传 ■三、高等代数 (一)含义 在高等代数中,一次方程组即线性方程组)发展成为线 性代数理论;是包含向量空间、线性变换、型论、不变 量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科; 二次方程发展成为多项式理论;是研究只含有一个 未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。 ■作为大学课程的高等代数,只研究它们的基础
8 “关系代数”前传 ◼ 三、高等代数 ◼ (一)含义 ◼ 在高等代数中，一次方程组(即线性方程组)发展成为线 性代数理论；是包含向量空间、线性变换、型论、不变 量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科； ◼ —、二次方程发展成为多项式理论；是研究只含有一个 未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。 ◼ 作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础
关系代数”前传 ■三、高等代数 (二)发展 1683年,关孝和(日本人)最早引入行列式概念; ■1841年,雅可比,行列式理论最系统的论述; 1855年,凯雷引入了矩阵的概念;(在逻辑上,矩 阵的概念先于行列式的概念;而在历史上,次序正 相反;行列式和矩阵在数学上并不是大的改革,而 是速记的一种表达式。不过已经证明它们是高度有 用的工具)
9 “关系代数”前传 ◼ 三、高等代数 ◼ (二)发展 ◼ 1683年，关孝和(日本人)最早引入行列式概念； ◼ 1841年，雅可比,行列式理论最系统的论述； ◼ 1855年，凯雷引入了矩阵的概念；(在逻辑上，矩 阵的概念先于行列式的概念；而在历史上，次序正 相反；行列式和矩阵在数学上并不是大的改革，而 是速记的一种表达式。不过已经证明它们是高度有 用的工具)
关系代数”前传 ■三、高等代数 (二)发展 1515年,菲洛解决了被简化为缺2次项的3次方程的求解问题; 1540年,费尔拉里成功地发现了一般4次方程的代数解法。人们 继续寻求5次、6次或更高次方程的求根公式,但这些努力在200 多年中付诸东流。(多项式代数的研究始于对3、4次方程求根公 式的探索。) 1746年,达朗贝尔首先给出了“代数学基本定理”的证明,断言: 般地说,n次代数方程应当有n个根; 1799年,22岁的高斯在写博士论文中,给出了这个定理的第 个严格的证明 1824年,22岁的阿贝尔证明了:高于4次的一般方程的全部系数 组成的根式,不可能是它的根; ■1828年,年仅17岁的伽罗华创立了“伽罗华理论”,包含了方 程能用根号解出的充分必要条件
10 “关系代数”前传 ◼ 三、高等代数 ◼ (二)发展 ◼ 1515年，菲洛解决了被简化为缺2次项的3次方程的求解问题； ◼ 1540年，费尔拉里成功地发现了一般4次方程的代数解法。人们 继续寻求5次、6次或更高次方程的求根公式，但这些努力在200 多年中付诸东流。(多项式代数的研究始于对3、4次方程求根公 式的探索。) ◼ 1746年，达朗贝尔首先给出了“代数学基本定理”的证明,断言： 一般地说，n次代数方程应当有n个根； ◼ 1799年，22岁的高斯在写博士论文中，给出了这个定理的第一 个严格的证明； ◼ 1824年，22岁的阿贝尔证明了：高于4次的一般方程的全部系数 组成的根式，不可能是它的根； ◼ 1828年，年仅17岁的伽罗华创立了“伽罗华理论”，包含了方 程能用根号解出的充分必要条件