《数值计算》课程教学资源（试卷习题，0903220310）第1-9章各章习题答案汇总

参考答案习题11．1α|和|b|很大时α，b2不能表示；「α|和|bl很小时机器令α2=0，b?=0，结果除数为0；)+()避免法：先求c=max(lal,|bl)，再算y=（3）9046×10t；2.(1)15.87;(2)16.00;（5）9046×10*（4)9047x10*：(6)1000;(7) 10013.1n2~0.6934.1.41，1.414，1.4142,1.41421;3，4，5，6;1.42，1.414，1.41422;1.4142,1.414和1.4142是√2的近似有效数（2)0.5x10-，0.9x10-3，3;5.（1)0.5，0.02%，4；（4)0.5x10-3,0.2x10-,4(3）5,0.3x10-3,4；（5）0.05,0.5×10，56.分别具有4位、3位和3位有效数字7.绝对误差限0.01，相对误差限为18.0.9659×10-，至少三位（实际五位）9.0.005厘米.10.绝对误差限为27.50（米3），相对误差限为1.1×10-311.方法1：直接相减0.10000×10~；111~0.10111×10-5方法2：恒等变形，近似计算：994995-994×995而精确值是0.10110916×10～，可见方法1不如方法2好.主要原因是：方法1将两个相近的数直接相减，造成了有效数字的损失1~0.01786312.x=28+783~55.982,xx+1dt13.=arctg(tg(arctg(N +1)-arctgN))1+t?1(N+I)-N=arctg= arctg 1+(N +1)N1+(N +1)N14.（1）B，避免相近数相减；（2）C，避免小除数和相近数相减；1

1 参考答案 习题 1 1． | a |和|b|很大时 2 a ， 2 b 不能表示；| a |和|b|很小时机器令 2 a  0 ， 2 b  0，结 果除数为 0； 避免法：先求c a b  max | |, | |   ，再算 2 2 a a b y c c c               . 2．（1）15.87； （2）16.00； （3） 4 9046 10  ； （4） 4 9047 10  ； （5） 4 9046 10  （6）1000； （7）1001 3．1 2 0.693 n  . 4．1.41， 1.414， 1.4142， 1.41421； 3， 4， 5， 6； 1.42， 1.414， 1.4142， 1.41422； 1.414 和 1.4142 是 2 的近似有效数. 5．（1）0.5， 0.02%， 4； （2） 5 3 0.5 10 , 0.9 10     ， 3； （3） 3 5, 0.3 10 ,   4； （4） 3 3 0.5 10 , 0.2 10 , 4     ； （5） 4 0.05, 0.5 10 , 5   . 6．分别具有 4 位、3 位和 3 位有效数字. 7．绝对误差限0.01，相对误差限为 1 8． 4 0.9659 10  ，至少三位（实际五位） 9．0.005 厘米. 10．绝对误差限为 3 27.50( ) 米 ，相对误差限为 3 1.1 10  11．方法 1：直接相减 5 0.10000 10  ； 方法 2：恒等变形，近似计算： 1 1 1 5 0.10111 10 994 995 994 995       而精确值是 5 0.10110916 10  ，可见方法 1 不如方法 2 好.主要原因是：方法 1 将两 个相近的数直接相减，造成了有效数字的损失. 12． 1 2 1 1 x x 28 783 55.982, 0.017863. x      13． 1 2 ( ( ( 1) )) 1 N N dt arctg tg arctg N arctgN t       ( 1) 1 1 ( 1) 1 ( 1) N N arctg arctg N N N N         14．（1）B，避免相近数相减； （2）C，避免小除数和相近数相减；

（3）A，避免相近数相减：（4）C，避免小除数和相近数相减，且节省对数运算15.(1)A,(2) B.16. (1) y=x-5, (+9)y+7)y+6)y+4;(2) S,=T =1, 对i=1~ n令T,=xT,,/i, S,=St-I +T,;(3) S=(1+}--11+2100101(4)A (Bα)习题21. L,(2.1)= 5.172.（1）线性插值-0.656683（2）抛物插值—0.653417，准确值—0.6539263.±0.9，0,2,1.04666...4. (1)(6x-5)x(x-2),(2) x(1-x)",(3) x2(1-x)/2.5(1) f[2°,2']=26, f[2°,2′,..,25]=1, [2,2′,.-,2]=0(2)[0,1]= 0, f[1,2,...,6] =1, [0,1,..,6]=057,39731.246. (1) N,(x)=x3+x2-x+2,N(x) =x+2.xx61211 511965+4(2) N,(x)=x +9x +9x+5,N.(x) =x+5/1261267.（1）差商表如下：f[x-,x,]if(x,)X00-7131-422593363262114N6539901551286312001(2) N,(x)=x +2x-7(3) x= 2.77821356348. (1)H,(0.27)=0.0728362(2)H(0.36)=0.1292552

2 （3）A，避免相近数相减； （4）C，避免小除数和相近数相减，且节省对数运算. 15．（1）A， （2）B. 16．（1） y x y y y y       5, 9 7 6 4     ； （2） 0 1 o S T   ，对i n 1 ~ 令 1 1 / , T xT i S S T i i i i i      ； （3） 1 1 1 1 / 2 2 100 101 S           （4）A（B ） 习题 2 1． 2 L (2.1) 5.17  2．（1）线性插值 0.656683 （2）抛物插值－0.653417，准确值－0.653926 3． 0.9， 0， 2， 1.046 66. 4．（1） 2 2 (6 5) ( 2) x x x   ， （2） 3 x x (1 )  ， （3） 2 x x (1 ) / 2  . 5（1） 0 1 0 1 5 0 1 6 f f f [2 , 2 ] 26, [2 , 2 , , 2 ] 1, [2 , 2 , , 2 ] 0      （2） f f f [0,1] 0, [1, 2, , 6] 1, [0,1, , 6] 0      6．（1） 3 2 3 N x x x x ( ) 2     ， 4 N x( ) 2. 6 31 12 97 3 7 12 5 4 3 2  x  x  x  x  （2） 3 2 3 N x x x x ( ) 9 9 5     ， 4 N x( ) 5. 6 65 12 119 6 5 12 11 4 3 2   x  x  x  x  7．（1）差商表如下： i i x ( )i f x 1 [ , ] i i f x x  . 0 0 －7 1 1 －4 3 2 2 5 9 3 3 3 26 21 6 1 4 4 65 39 9 1 0 5 5 128 63 12 1 0 0 （2） 3 3 N x x x ( ) 2 7    3 x  2.7782135634 8．（1） 3 H (0.27) 0.0728362  （2） 3 H (0.36) 0.129255 

9. H,(x)=0.4-0.3x+0.2x,f(2.2)~0.70810. H,(x)=(x+1)(x-1)2, f(0.5) = H,(0.5)= 0.37511. P(x)=x(x2-3x+1.5)12. (1.075)~2.16, f(1.175) ~2.24513.15.83,0.002.14.(1)2.374626,0.217463;（2）1.195788，0.002467(3) 1.194 730.S.(x)=-104.850+292.125x-268.125x2+81.25x,xe[1.1,1.2]S,(x)=143.55-328.875x+249.375x2-62.5x3,xe[1.2,1.4]15. S(x)=3[S,(x)=-148.0+295.875x-196.875x +43.75x,xe[1.4,1.5]16.(1)M。=-2.0286,M,=-1.4627,M, =-1.0334, M,=-0.8058, M4 =-0.6546 (2)M,=-1.4686,M,=-1.0311,M,=-0.80821515274352717. (1)(M。M,M,M,M)21(1471481394824(2) (M。M,M, M,M) =1014147习题31. y=0.1-0.2x2.y=0.2+0.5x-0.1x23.=0.9726045+0.0500351x2，平方误差0.1302075264.y=1.41841-0.204962x30.2125.y=0.529-x6.y=2.973+0.531lnx7.二次最佳平方逼近多项式为P(x)=0.647919+0.528123x-0.031248(3x2-1)其平方误差为0.062495×0.037497~0.00129习题 4421. (1) A =A A :333

3 9． 2 2 H x x x f ( ) 0.4 0.3 0.2 , (2.2) 0.708     10． 2 3 3 H x x x f H ( ) ( 1)( 1) , (0.5) (0.5) 0.375      11． 2 2 4 P x x x x ( ) ( 3 1.5)    12． f f (1.075) 2.16, (1.175) 2.245   13．15.83， 0.002. 14．（1）2.374 626， 0.217 463； （2）1.195 788， 0.002 467； （3）1.194 730. 15． 2 3 0 2 3 1 2 3 2 ( ) 104.850 292.125 268.125 81.25 , [1.1,1.2] ( ) ( ) 143.55 328.875 249.375 62.5 , [1.2,1.4] ( ) 148.0 295.875 196.875 43.75 , [1.4,1.5] S x x x x x S x S x x x x x S x x x x x                        16．（1） 0 1 M M     2.028 6, 1.462 7 ， 2 3 4 M M M       1.033 4, 0.805 8, 0.654 6 ； （2） 1 2 3 M M M       1.468 6, 1.0311, 0.808 2 . 17．（1） 0 1 2 3 4 27 15 15 27 435 ( ) 14 7 2 7 14 T T M M M M M        ； （2） 0 1 2 3 4 39 48 81 ( ) 0 24 14 7 14 T T M M M M M        . 习题 3 1． y x   0.1 0.2 2． 2 y x x    0.2 0.5 0.1 3． 2 y x   0.9726045 0.0500351 ，平方误差 0.130207526 4． 3 y x   1.41841 0.204962 5． 0.212 y 0.529 x   6． y x   2.973 0.531ln 7．二次最佳平方逼近多项式为 2 P x x x ( ) 0.647919 0.528123 0.031248(3 1)     其平方误差为 0.062495 0.037497) 0.00129   习题 4 1．（1） 1 2 2 4 2 , 3 3 A A A     ；

(2) A = A, =h/3, A, = 4h/3 ;'(x)d[45(a)+2(b)+(b-a)](a)（3）6(4) A. = A = h/2, B, =-B, = h2 /12 ,2 "()(0)+3(h)+3(2h)+(3)8f(x)dx~[7f(-1)+16 f(0)+7f(1)+ f'(-1)- ())469等份5.(1)1.369459,1.370763;(2)0.270769，0.272197;(3)0.822866，0.822469;(4)0.694122，0.693155.6.0.5735959，0.57737837.0.2218.(1)0.619017(2)0.7092759.（1)S（f)=0.236564(2)S（f)=0.820378(3)S（f)=0.0410119（4）S（f）=0.037862210.（1）1.369459,0.001304;(2)0.270769,0.001437;(3)0.822866,-0.000397;（4）0.694122，-0.00096711.（1)1.370761,（2)0.272197（3）0.822467,（4)0.693148h4TG43T4TCT(h)-T,(h)T,(h112.T(h)=, T,(h) =, T(h)=4-142-143-1(3)0.822467，(4)0.693146.13.(1)1.370762,(2)0.272203,x =-x =/5/3:14. (1) A, =2/3, xo=0;A =A =1/3280V2805_1A(2) A=2/3,x =0.6;: x49363300585代数精度5.15.a,a:,ay=9992f(x)dx=+ f(O)+6T3517.-0.8;0.3;0.2518.12.01;12.0001习题51.x=(-227.08,476.92,-177.69))4

4 （2） 0 2 1 A A h A h    / 3, 4 / 3； （3） ( ) [4 ( ) 2 ( ) ( ) ( )] 6 b a b a f x dx f a f b b a f a        （4） 2 0 1 0 1 A A h B B h      / 2, /12 ， 2 3 0 3 ( ) [ (0) 3 ( ) 3 (2 ) (3 )] 8 h h f x dx f f h f h f h      3 1 1 1 ( ) [7 ( 1) 16 (0) 7 (1) ( 1) (1)] 15 f x dx f f f f f            4 69 等份. 5．（1）1.369 459， 1.370 763； （2）0.270 769， 0.272 197； （3）0.822 866， 0.822 469； （4）0.694 122， 0.693 155. 6． 0.5735959， 0.5773783 7． 0.221 8 .（1）0.619017 （2）0.709275 9 .（1）S（f）=0.236564 （2）S（f）=0.820378 （3）S（f）=0.0410119 （4）S（f）=0.0378622 10．（1）1.369 459，0.001 304； （2）0.270 769，0.001 437； （3）0.822 866，-0.000 397； （4）0.694 122，-0.000 967. 11．（1）1.370 761，（2）0.272 197，（3）0.822 467,（4）0.693 148. 12． 1 4 ( ) ( ) 2 ( ) 4 1 h T T h T h    , 2 1 1 2 2 4 ( ) ( ) 2 ( ) 4 1 h T T h T h    , 3 2 2 3 3 4 ( ) ( ) 2 ( ) 4 1 h T T h T h    13．（1）1.370 762， （2）0.272 203， （3）0.822 467，（4）0.693 146. 14．（1） 0 0 A x   2 / 3, 0； 1 2 A A  1/ 3 2 1 x x    5/ 3 ； （2） 0 0 A x   2 / 3, 0.6；； 1,2 1,2 5 280 1 280 , 9 63 3 300 x A     ， 15. 1 2 3 5 8 5 , , 9 9 9 a a a .代数精度 5. 16 . 1 1 2 2 2 ( ) (0) 3 2 2 f x dx f f f                         17. 0.8；0.3；-0.25 18． 12.01；12.0001 习题 5 1. ( 227.08, 476.92, 177.69)T x   

2.x=(1.335.0,-5.003):x=(0.2252.0.2790.0.3295)3.x=(1.930,-0.68695,0.88888))230[223]1021312704. A=0-1 206-1455. x=(221007[111021006.A不能分解：B=-113为一任意常数，分解不唯一；[2 152-2O132[1 0012632001C=1/6311001/23%0(215%31417. A=-b-3 42Y0I1(6645211(71212328.A=2113-113(4(4311109,4,2)9.x=[0010n1021010010. A=2X=2,x=0,x=2[1 -21//00052111)11. x=(6'3'2'3'612.I AI=1.1,|lAl=0.8,Al=0.71 =0.84,IA/=/0.68534=0.8278513. (43),(+ + ) (8,6), / 10274.II x II习题61. x =(1,1,-1))5

5 2． (1.335,0, 5.003) ; T x   T x  (0.2252,0.2790,0.3295) 3. (1.930, 0.68695, 0.88888)T x   4. 1 2 3 1 0 0 2 2 3 2 7 7 2 1 0 0 3 1 1 4 5 1 2 1 0 0 6 A                        5. 1 1 ( ,1, ) 2 2 T x  6．A 不能分解； 32 32 1 0 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 2 B l l                 ， 32 l 为一任意常数，分解不唯一； 1 0 0 1 2 6 2 1 0 0 1 3 6 3 1 0 0 1 C               7.                1 2 1 1 3 1 3 1 1 2 3 2 1 0 1 6 6 4 5 2 3 4 4 3 2 A ，               1 1 1 1 y 2 0 5 1 x , 8. 1 1 1 2 3 4 2 1 1 1 2 3 3 2 1 1 1 1 4 3 1 1 1 1 A                     ， 1 2 3 4 x        9. 9 ( , 4, 2) 4 T x   10. 1 0 0 2 1 0 1 2 1 A         1 0 0 0 1 0 0 0 4        1 2 1 0 1 2 0 0 1        ， 1 2 3 x x x    2, 0, 2 . 11. 5 2 1 1 1 ( , , , , ) 6 3 2 3 6 T x  12． || || 1.1,|| || 0.8,|| || 0.71 0.84, A   A 1 A F   || A||2 0.68534  0.82785 13. 10274. || || || ||  (4,3) ,(  )  (8,6) ,  x x x x x T T   习题 6 1． * (1,1, 1)T x  

V30152.计算可得p(J)=p(G) :所以雅可比和G-S法均发散，223．发散；加工成对角占优的同解方程组4．雅可比法与高斯一赛德尔法均收敛.雅可比选代到18次有x(17)=x(18)|≤0.4145×10-4x(7)-x(8)≤0.9156×10-4高斯一赛德尔代法5. (1) x(8) =(0.8599,1.1798,1.2197),x(8)-x(7)=0.0006<10-3,所以x =x(8) ;(2)x(5)=(0.8599,1.1799,1.2199),x(5)-x(4)=0.00074<10-3,所以x = x(5)6方程组的雅可比法收敛，高斯一赛德尔法不收敛。7.雅可比法收效的充要条件是[ap]<100,100，高斯-赛德尔法收敛得充要条件是αβl<338.SOR迭代法迭代7次后分别为@=1,x(7)=(3.0134110,3.9888241,-5.0027940)=1.25,x(7)=(3.0000498,4.0002586,5.0003486)若要精确到小数后7位，对の=1（即高斯一赛德尔法）需迭代34次，而对の=1.25的SOR法，只需迭代14次.它表明松弛因子选择的好坏，对收敛速度影响很大，9.松弛因子选代次数达到精度要求的近似解1.035x(5)=(0.50000441.0000016-0.4999997)16x(6)=(0.50000381.0000019-0.4999995)1.16x(6)=(0.50000360.9999985-0.5000000)10. 1)Oop~1.24，R(L.)=1.3862944.2)R(J)~0.2350018,R(G)~0.47000363)雅可比送代69次，高斯一赛德尔送代35次，SOR送代12次11.k02136

6 2．计算可得 30 15 ( ) , ( ) 2 2   J G   ，所以雅可比和 G-S 法均发散. 3．发散；加工成对角占优的同解方程组 4．雅可比法与高斯—赛德尔法均收敛. 雅可比迭代到 18 次有 (17) (18) 4 x x 0.4145 10    高斯—赛德尔迭代法 5．（1） (8) (8) (7) 3 (0.8599,1.1798,1.2197) , 0.0006 10 T x x x       ，所以 * (8) x x  ； （2） (5) (5) (4) 3 (0.8599,1.1799,1.2199) , 0.00074 10 T x x x       ，所以 * (5) x x  . 6．方程组的雅可比法收敛，高斯—赛德尔法不收敛. 7. 雅可比法收敛的充要条件是 100 3   ，高斯-赛德尔法收敛得充要条件是 100 3   . 8． SOR 迭代法迭代 7 次后分别为 若要精确到小数后 7 位，对 1 (即高斯—赛德尔法)需迭代 34 次，而对 1.25的 SOR 法，只需迭代 14 次.它表明松弛因子ω选择的好坏，对收敛速度影响很大. 9． 松弛因子 迭代次数 达到精度要求的近似解 1.03 5   (5) 0.5000044 1.0000016 0.4999997 T x   1 6   (6) 0.5000038 1.0000019 0.4999995 T x   1.1 6   (6) 0.5000036 0.9999985 0.5000000 T x   10. 1) 1.24 opt  , R L( ) 1.3862944   . 2) R J( ) 0.2350018  , R G( ) 0.4700036  . 3)雅可比迭代 69 次,高斯—赛德尔迭代 35 次，SOR 迭代 12 次. 11. k 0 1 2 3

(0, 0, 0)(6, 0, 0)(6/7,48/7,0)(3, 4, 5)(4)(0, 12, -24)(0, 0, -120/7)(24, 30, -24)(0, 0, 0)(ky由于r(3)=(0,0,0)，x(2)=(34-5)就是方程组的解习题71.1.41406253.（1）和（2）都收敛，（3）发散，用（1）计算得到近似值1.46564.（1)有两个根，xe[-3,-2.5],x,e[1,2](2)x ~-2.948,x ~1.5055.1.87938524157181676810821855464956.方程只有1个实根，采用（1）的格式或者牛顿选代法得x2.299x-2008Xk+I=X5x，得x~4.5777.用牛顿迭代法(% = 4Ek+l=n-19.（1)xlim2A6nn-1Sk+llim(2)Xk+1(n+1)2AA6no11.1.87938514.x,~-0.82137，x~1.91067815.用z。=1+i选代收敛，且x,~-1.003e-l,y,=1.000e*001用20=选代发散V3习题81. (1) (x)=1-e-r精确解梯形公式x欧拉公式向后欧拉公式7

7 ( ) T k x (0,0,0) (6,0,0) (6/7,48/7,0) (3,4,-5) ( )T k r (24,30,-24) (0,12,-24) (0,0,-120/7) (0,0,0) 由于 (3) (0, 0, 0)T r  ,   (2) 3 4 5 T x   就是方程组的解. 习题 7 1. 1.4140625 3. （1）和（2）都收敛，（3）发散，用（1）计算得到近似值 1.4656 4．（1）有两个根， x x 1 2  3, 2.5 , 1, 2          （2） 1 2 x x 2.948, 1.505      5.1.8793852415718167681082185546495 6.方程只有 1 个实根，采用（1）的格式或者牛顿迭代法得 x 2.299   7.用牛顿迭代法 5 1 4 0 2008 5 4 k k k k x x x x x           ，得 4 x  4.577 9.（1） 1   1 1 1 k k n k A x n x n x            ， 1 2 1 2 lim k n k k n A       （2）   1 1 1 1 n k k k x x n x n A           ， 1 2 1 2 lim k n k k n A        11.1.879385 14. 1 x  0.82137 ， 2 x 1.910678 15.用 0 z i  1 迭代收敛，且 11 00 1.003 , 1.000 i i x e y e      用 0 1 3 z  迭代发散 习题 8 1．（1） ( ) 1 x y x e   x 精确解 欧拉公式 向后欧拉公式 梯形公式

0. 10.095160.100000.090910.0952380.20.181270.190000. 181410.173550.30.259180.271000.248690.259370. 40.329680.343900.316990.329900.50.393470.409510.379080.393720.60. 451460.451190.468560.435530. 70.503410.521700.486840.503700.80.550670.569530.533490.550970.90.593430.612580.575900.5937410.632120.651320.632430.614462(2) y(x)=2-x2X精确解梯形公式欧拉公式向后欧拉公式0. 11.005031.000001.010211.005050. 21.020411.010001.031481.020520. 31.047121.030401.065541.047390. 41.086961.062251.087491.115300. 51.142861.107391.185581.143860. 61.219511.168701.284591.221320. 71.324501.250661.427171.327770.81.470591.360151.643171.476700. 91.680671.508152.004961.6928912.000001.712852.775052.027362. y(0.5)y=0.5, y(1.0)~y,=0.8894,J(1.5)=y,=1.07334,J(2.0)=y4=1.12604取极限3.提示：由梯形公式，解出yn+1，导出递推关系，求得近似解yn2+hh→0可得梯形公式是收敛的，且收敛于问题的真解。4.0. 10. 20. 30. 5xn0.4yn0.005500.021930.050150.090940.14500y(x,)0.005160.021270.049180.089680.143478

8 0.1 0.09516 0.10000 0.09091 0.095238 0.2 0.18127 0.19000 0.17355 0.18141 0.3 0.25918 0.27100 0.24869 0.25937 0.4 0.32968 0.34390 0.31699 0.32990 0.5 0.39347 0.40951 0.37908 0.39372 0.6 0.45119 0.46856 0.43553 0.45146 0.7 0.50341 0.52170 0.48684 0.50370 0.8 0.55067 0.56953 0.53349 0.55097 0.9 0.59343 0.61258 0.57590 0.59374 1 0.63212 0.65132 0.61446 0.63243 （2） 2 2 ( ) 2 y x x   x 精确解 欧拉公式 向后欧拉公式 梯形公式 0.1 1.00503 1.00000 1.01021 1.00505 0.2 1.02041 1.01000 1.03148 1.02052 0.3 1.04712 1.03040 1.06554 1.04739 0.4 1.08696 1.06225 1.11530 1.08749 0.5 1.14286 1.10739 1.18558 1.14386 0.6 1.21951 1.16870 1.28459 1.22132 0.7 1.32450 1.25066 1.42717 1.32777 0.8 1.47059 1.36015 1.64317 1.47670 0.9 1.68067 1.50815 2.00496 1.69289 1 2.00000 1.71285 2.77505 2.02736 2． 1 y y (0.5) 0.5   ， 2 y y (1.0) 0.8894   ， 3 y y (1.5) 1.07334   ， 4 y y (2.0) 1.12604   3．提示：由梯形公式，解出 n 1 y  ，导出递推关系，求得近似解 2 2 n n h y h          ，取极限 h  0 可得梯形公式是收敛的，且收敛于问题的真解. 4． n x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 n y 0.00550 0.02193 0.05015 0.09094 0.14500 ( ) n y x 0.00516 0.02127 0.04918 0.08968 0.14347

(1)y(x) =1-e-x5,6,精确解改进欧拉公式X四阶经典龙格一库塔公式0. 10.095000.0951625820.09516250. 20.1812692470.180980.18126910. 30.2591817790.258780.25918160. 40.3296799540.329200.32967970. 50.3934693400.392920.39346910.60.4511883640.450600.45118810.70.5034146960.502790.50341440.80.5506710360.550020.55067070.90.5934303400.592770.593430010.6321205590.631460.63212022(2) J(x):2-x24精确解改进欧拉公式四阶经典龙格-库塔公式0. 11.005031.095911.005 02510. 21.020411.184101.02040820. 31.047121.266201.04712050. 41.086961.343361.08695670. 51.142861.416401.14285750. 61.219511.485961.21951280. 71.324501.552511.324 504 40.81.470591.616471.47058970. 91.680671.678171.680672912.000001.737871.999 991 27. (h+1)2+1k22212hy"(5):(4y,-y)+hfu,R[y]=-8. (1) yial=239hhy"(5):(3f,-Jul),R[y]=(2)Jiat=y+12414 h y((5).h(2f,- fii +2f,-2), R[y]=(3) yi+l = yi-3 +4539.（1）用改进的欧拉法计算出y=0.32842，再运用三阶显式阿达姆斯格式计算可得：9

9 5，6， (1) ( ) 1 x y x e   x 精确解 改进欧拉公式 四阶经典龙格-库塔公式 0.1 0.095162582 0.09500 0.0951625 0.2 0.181269247 0.18098 0.1812691 0.3 0.259181779 0.25878 0.2591816 0.4 0.329679954 0.32920 0.3296797 0.5 0.393469340 0.39292 0.3934691 0.6 0.451188364 0.45060 0.4511881 0.7 0.503414696 0.50279 0.5034144 0.8 0.550671036 0.55002 0.5506707 0.9 0.593430340 0.59277 0.5934300 1 0.632120559 0.63146 0.6321202 （2） 2 2 ( ) 2 y x x   x 精确解 改进欧拉公式 四阶经典龙格-库塔公式 0.1 1.00503 1.09591 1.005 025 1 0.2 1.02041 1.18410 1.020 408 2 0.3 1.04712 1.26620 1.047 120 5 0.4 1.08696 1.34336 1.086 956 7 0.5 1.14286 1.41640 1.142 857 5 0.6 1.21951 1.48596 1.219 512 8 0.7 1.32450 1.55251 1.324 504 4 0.8 1.47059 1.61647 1.470 589 7 0.9 1.68067 1.67817 1.680 672 9 1 2.00000 1.73787 1.999 991 2 7． 2 | ( 1) 1| 2 h    8．（1） 1 1 1 1 2 (4 ) 3 3 i i i i y y y hf       ， 2 3 [ ] ( ) 9 R y h y i     ； （2） 3 1 1 5 (3 ), [ ] ( ) 2 12 i i i i i h y y f f R y h y         ； （3） 1 3 1 2 4 (2 2 ) 3 i i i i i y y h f f f         ， 14 5 (5) [ ] ( ) 45 R y h y i   . 9．（1）用改进的欧拉法计算出 2 y  0.32842 ，再运用三阶显式阿达姆斯格式计算可得：

y(0.6)=y,=0.450792:y(0.8)=y4=0.550484,y(1,0)=ys=0.632308(2) y(0.4)=yz=0.329415;y(0.6)=y,=0.450932;y(0.8)=y4=0.550 429;y(1.0)~ ys =0.631896.10XX,ynyn10. 10.9790730.19825420. 20.9841640.3929330. 3 0.9990050.58565340. 41.023830.77646750. 51.058870.96547160.61.104481.1528870. 71. 161111.3389580. 81.229321.5240890.91.309781.70882101. 01.403281.8938311. y=0.4944,yz=0.9579,y,=1.3615习题91.元~2.5365323，x=(0.74822116,0.64966116,1)2.特征值元=110，特征向量为(1,0.5,1)3.2.53659144.主特征值为6.000000000，主特征向量为（-0.269230769,1,0.038461538）5.t(1,-0.73206,0.26796),t+010

10 3 y y (0.6) 0.450 792   ； 4 y y (0.8) 0.550 484   ， 5 y y (1, 0) 0.632 308   （2） 2 y y (0.4) 0.329 415   ； 3 y y (0.6) 0.450 932   ； 4 y y (0.8) 0.550 429   ； 5 y y (1.0) 0.631896   . 10 n x n y n x n y 1 0.1 0.979073 0.198254 2 0.2 0.984164 0.39293 3 0.3 0.999005 0.585653 4 0.4 1.02383 0.776467 5 0.5 1.05887 0.965471 6 0.6 1.10448 1.15288 7 0.7 1.16111 1.33895 8 0.8 1.22932 1.52408 9 0.9 1.30978 1.70882 10 1.0 1.40328 1.89383 11． 1 2 3 y y y    0.4944, 0.9579, 1.3615 . 习题 9 1. 1   2.5365323， 1 (0.74822116, 0.64966116,1)T x  2. 特征值 110 ，特征向量为 (1, 0.5,1)T 3． 1   2.5365914 4．主特征值为 6.000000000，主特征向量为( 0.269230769,1, 0.038461538)T  5. (1, 0.73206, 0.26796) , 0 T t t  