第3章基础实验3.1测定刚体的转动惯量【引言】刚体转动惯性大小的量度称为转动惯量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量，它不仅取决于刚体的质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关，对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出绕给定转动轴的转动惯量.但在工程实践中，我们常碰到大量形状复杂、且质量分布不均匀的刚体，理论计算将极为复杂，通常采用实验方法来测定，转动惯量不能直接测量，必须进行参量转换，即设计一种装置，使待测物体以一定的形式运动，其运动规律必须与转动惯量有联系，其它各物理量可以直接或以一定方法测定.对于不同形状的刚体，设计不同的测量方法和仪器，常用的有三线摆、扭摆、复摆以及各种特制的转动惯量测定仪等，本节介绍扭摆法、三线摆法以及用塔轮式转动惯量仪测定的方法，为了便于与理论计算结果比较，实验中仍采用形状规则的刚体3.1.1用扭摆测刚体的转动惯量【实验目的】1.用扭摆测定形状不同的物体的转动惯量2.学习几种常用测量工具的使用3.学习一种比较测量法.【实验原理】如图3-1-1所示，一根悬丝（钢丝）上端固定，下端悬一水平圆盘：悬丝固定于圆盘中心，使圆盘旋转一角度，释放后圆盘就以悬丝为轴做扭转振动.这种振动称为角谐振动，这样的装置就叫做扭摆当圆盘从平衡位置转动一角度后，在悬丝的恢复力矩的作用下，圆盘开始绕垂直轴做往返扭转运动，且悬丝作用在圆盘上的恢复力矩M与成正比，方向与6相反M--o,(3-1-1)式中k为扭转弹性系数，它与悬丝的长短、粗细及材料性质aD有关.根据转动定律BM=p,1T则圆盘在偏离平衡位置6时，图3-1-1扭摆
第3章 基 础 实 验 3灡1 测定刚体的转动惯量 暰引言暱 刚体转动惯性大小的量度称为转动惯量,是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量, 它不仅取决于刚体的质量,而且与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关.对于质量分布 均匀、具有规则几何形状的刚体,可以通过数学方法计算出绕给定转动轴的转动惯量.但在工 程实践中,我们常碰到大量形状复杂、且质量分布不均匀的刚体,理论计算将极为复杂,通常采 用实验方法来测定. 转动惯量不能直接测量,必须进行参量转换,即设计一种装置,使待测物体以一定的形式 运动,其运动规律必须与转动惯量有联系,其它各物理量可以直接或以一定方法测定.对于不 同形状的刚体,设计不同的测量方法和仪器,常用的有三线摆、扭摆、复摆以及各种特制的转动 惯量测定仪等.本节介绍扭摆法、三线摆法以及用塔轮式转动惯量仪测定的方法.为了便于与 理论计算结果比较,实验中仍采用形状规则的刚体. 3灡1灡1 用扭摆测刚体的转动惯量 暰实验目的暱 1.用扭摆测定形状不同的物体的转动惯量. 2.学习几种常用测量工具的使用. 3.学习一种比较测量法. 暰实验原理暱 如图3灢1灢1所示,一根悬丝(钢丝)上端固定,下端悬一水平圆盘.悬丝固定于圆盘中心,使 圆盘旋转一角度,释放后圆盘就以悬丝为轴做扭转振动.这种振动称为角谐振动,这样的装置 图3灢1灢1 扭摆 就叫做扭摆. 当圆盘从平衡位置转动一角度毴后,在悬丝的恢复力矩 的作用下,圆盘开始绕垂直轴做往返扭转运动,且悬丝作用 在圆盘上的恢复力矩 M 与毴 成正比,方向与毴相反. M =-k毴, (3灢1灢1) 式中k为扭转弹性系数,它与悬丝的长短、粗细及材料性质 有关.根据转动定律 M =I毬, 则圆盘在偏离平衡位置毴时
第3章基础实验.39de-ko=Iαdrk，可得式中I为圆盘绕悬丝轴线的转动惯量.令I#do2+0=0dt?解此微分方程得圆盘的运动方程：+=Acos(wt+po),式中A为谐振动的角振幅，。为初位相，@为角速度.其振动周期为4元1起Tα=2=2元／T=或(3-1-2)Vkk只要测出扭摆的摆动周期工，如果已知，则可计算出转动物体的转动惯量1盘：但k为一未知量，下面采用比较法消去k，从而得出1盘在圆盘上同轴加上一个质量为m，内外半径分别为ri，r2的圆环，然后同圆盘一起绕轴做角振动，由（3-1-2）式可得此时振动周期为盘+|环(3-1-3)T盘+环=2元k式中I环为圆环的转动惯量，由（3-1-2）.（3-1-3）两式消去k，可得T2(3-1-4)I盘=ET盒+杯一T做式中圆环的转动惯量1际可由理论公式算得，即11I环m(ri+r)-(3-1-5)m(di+d)8式中d和dz分别为圆环的内、外直径.将（3-1-5）式代入（3-1-4）式可得圆盘的转动惯量I，即mT(+d)I盒=(3-1-6)8（T盐+环—T）利用扭摆还可测得悬丝的切变模量（见附录1），在N表达式中代入（3-1-5）式，得16m元L(d,+dz)N一(3-1-7)d（T盆+环—T盆）式中，d为悬丝的直径，L为悬丝的长度【实验仪器】扭摆、圆环、秒表、游标卡尺、千分尺、米尺等【实验内容】1.使圆盘作扭转振动，测出往返振动30次所需时间，重复测6次，数据记录于表3-1-1
-k毴=I盘 d2毴 dt2 , 式中I盘 为圆盘绕悬丝轴线的转动惯量.令氊2 = k I盘 ,可得 d2毴 dt2 +氊2毴=0, 解此微分方程得圆盘的运动方程: 毴=Acos(氊t+氄0), 式中A 为谐振动的角振幅,氄0 为初位相,氊 为角速度.其振动周期为 T盘 = 2毿 氊 =2毿 I盘 k 或 T2 盘 = 4毿2I盘 k . (3灢1灢2) 只要测出扭摆的摆动周期T盘 ,如果k已知,则可计算出转动物体的转动惯量I盘 .但k为一 未知量,下面采用比较法消去k,从而得出I盘 . 在圆盘上同轴加上一个质量为m,内外半径分别为r1,r2 的圆环,然后同圆盘一起绕轴做 角振动,由(3灢1灢2)式可得此时振动周期为 T盘+环 =2毿 I盘 +I环 k , (3灢1灢3) 式中I环 为圆环的转动惯量. 由(3灢1灢2),(3灢1灢3)两式消去k,可得 I盘 = T2 盘 T2 盘+环 -T2 盘 I环 , (3灢1灢4) 式中圆环的转动惯量I环 可由理论公式算得,即 I环 = 1 2 m(r2 1 +r2 2)= 1 8 m(d2 1 +d2 2), (3灢1灢5) 式中d1 和d2 分别为圆环的内、外直径.将(3灢1灢5)式代入(3灢1灢4)式,可得圆盘的转动惯量I盘 ,即 I盘 = mT2 盘 (d2 1 +d2 2) 8(T2 盘+环 -T2 盘 ) . (3灢1灢6) 利用扭摆还可测得悬丝的切变模量(见附录1),在 N丝 表达式中代入(3灢1灢5)式,得 N丝 = 16m毿L(d1 +d2) d4(T2 盘+环 -T2 盘 ) , (3灢1灢7) 式中,d为悬丝的直径,L 为悬丝的长度. 暰实验仪器暱 扭摆、圆环、秒表、游标卡尺、千分尺、米尺等. 暰实验内容暱 1.使圆盘作扭转振动,测出往返振动30次所需时间,重复测6次,数据记录于表3灢1灢1. 第3章 基础实验 ·39·
大学物理实验40表 3-1-1圆盘圆盘十圆环测量对象30个周期T3e/s1个周期T/sTA=T盘+环 =平均周期/sA(Tα)=UA（T盘+环）一A类不确定度/s合成不确定度/su(T）=Vu（Ta）+(T）=u（T盘+环）=（T盘+环）+u（T量+环）表中，us(Ta）=un(Tα+环）=g（)S.30/330个周期秒表的估计误差△信（T）机械秒表取0.5s，电子秒表取0.2s.2.将一转动惯量I环：m（dz十d）的铁环，同心地放在圆盘上.重复步骤1.23.记下环的质量m（圆环质量由实验室给出，不确定度忽略不计），4.用游标卡尺测出环的内外直径d1和d（单次测量），记入表3-1-2表 3-1-2质量m/g内径d,/cm外径d2/cm测量值不确定度ue(d,) = un(d) =ue(d2) = e(di) =表中，ug(d）=uz(d）=△（d)_0.002cm（游标卡尺仪器误差0.002cm））cm/3/35.用米尺测出钢丝长度L.测量钢丝长度1次，L=cm米尺（1m长钢卷尺）的A(L)仪器误差为△（L），则uu（L)=（cm）：钢卷尺很难与钢丝的两端对齐，在单次测量时引人V3全益（(cm），那么L的合成不确定的估计误差为△倍（L)（根据实际测量情况确定),则ue（L)=/3度为：u（L)=（L）+u（L）cm.（单次测量只考虑B类不确定度）6.用千分尺测出钢丝不同位置的直径，共测6次，记入表3-1-3.表3-1-35测直径/cm2平均值36A类不确定度B类不确定度校零示值Z。uA(Z.)-un(Zo)=UA(Z)=un(Z)=直径示值Zd表中，ug(Z)=u(Z)=校（d)0.0004cm.千分尺仪器误差0.0004.cm.cm:/33Zo，Za的合成不确定度u（Z）=u（Z）十u（Z）cm;
表3灢1灢1 测量对象 圆盘 圆盘 + 圆环 30个周期T30/s 1个周期T/s 平均周期/s T煀盘 = T煀盘+环 = A 类不确定度/s uA(T盘 )= uA(T盘+环 )= 合成不确定度/s u(T盘 )= u2 A(T盘 )+u2 B(T盘 )= u(T盘+环 )= u2 A(T盘+环 )+u2 B(T盘+环 )= 表中,uB(T盘 )=uB(T盘+环 )= 殼估 (T) 30 3 = s. 30个周期秒表的估计误差 殼估 (T)机械秒表取0灡5s,电子秒表取0灡2s. 2.将一转动惯量I环 = 1 8 m(d2 1 +d2 2)的铁环,同心地放在圆盘上,重复步骤1. 3.记下环的质量m(圆环质量由实验室给出,不确定度忽略不计). 4.用游标卡尺测出环的内外直径d1 和d2(单次测量),记入表3灢1灢2. 表3灢1灢2 质量 m/g 内径d1/cm 外径d2/cm 测量值 不确定度 — uc(d1)=uB(d1)= uc(d2)=uc(d1)= 表中,uB(d1)=uB(d2)= 殼仪 (d) 3 = 0灡002 3 cm= cm(游标卡尺仪器误差0灡002cm). 5.用米尺测出钢丝长度L.测量钢丝长度1次,L= cm.米尺(1m 长钢卷尺)的 仪器误差为殼仪 (L),则uB1(L)= 殼仪 (L) 3 (cm);钢卷尺很难与钢丝的两端对齐,在单次测量时引入 的估计误差为 殼估 (L)(根据实际测量情况确定),则uB2(L)= 殼估 (L) 3 (cm),那么L的合成不确定 度为:uc(L)= u2 B1(L)+u2 B2(L)= cm.(单次测量只考虑B类不确定度). 6.用千分尺测出钢丝不同位置的直径,共测6次,记入表3灢1灢3. 表3灢1灢3 测直径/cm 1 2 3 4 5 6 平均值 A 类不确定度 B类不确定度 校零示值Z0 uA(Z0)= uB(Z0)= 直径示值Zd uA(Zd)= uB(Zd)= 表中,uB(Z0)=uB(Zd)= 殼仪 (d) 3 = 0.0004 3 cm= cm.千分尺仪器误差0.0004cm. Z0,Zd 的合成不确定度uc(Z0)= u2 A(Z0)+u2 B(Z0)= cm; ·40· 大学物理实验
第3章基础实验.41u(Za)-V(Za)+u(Za)-cm;钢丝直径d=z-Z。cm;()(z.)+()u(Za)=直径不确定度u.（d）=cm.27.【数据处理】1.计算上述各测量量的平均值、A类不确定度，再考虑仪器误差△，并计算出合成标准不确定度u填入上述各表中2.将各个多次测量的平均值、单次测量值（L，m），分别代人（3-1-6）式和（3-1-7）式，计算T及N.3.计算圆盘转动惯量和金属悬丝的不确定度（先计算相对不确定度u）、扩展不确定度4.写出本次实验结果N.m-2.I盘I盘士U(I盘）=kg·m2；N丝-N丝±U(N丝）=【注意事项】1.钢丝应固定在圆盘的中心且圆盘应水平2.测量钢丝的长度，应为两夹头间的距离，3.圆环必须同心地加到圆盘上【预习思考题】使扭摆做角振动时应注意什么？【讨论思考题】1.为什么钢丝的直径必须准确测定？2.根据对本实验的分析，你认为在什么情况下可采用比较测量法？3.1.2用转动惯量仪测刚体的转动惯量【实验目的】1.学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法2.观测转动惯量随质量、质量分测试样品布及转动轴线的不同而改变的情况，转量验证平行轴定理光电门：光电门支架3.学会使用智能计数计时器（或遮光棒通用电脑式毫秒计）测量时间.滑轮绕线塔伦【实验原理】细绳1.转动惯量实验仪磁码刚体的转动惯量实验仪主要由圆形载物台（转盘）、绕线塔轮、遮光棒、光升降杆调平螺钉电门和小滑轮组成，如图3-1-2所示图3-1-2转动惯量实验组合仪绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，使转动时的摩擦力矩很小，遮光棒固定在载物台边缘，光电门固定在底座圆周直径的两端.塔轮上有5个不同半径的绕线轮，塔轮
uc(Zd)= u2 A(Zd)+u2 B(Zd)= cm; 钢丝直径d=Zd -Z0 = cm; 直径不确定度uc(d)= 灥d 灥Z æ è ç ö ø ÷ 0 2 u2 c(Z0)+ 灥d 灥Z æ è ç ö ø ÷ 0 2 u2 c(Zd)= cm. 暰数据处理暱 1.计算上述各测量量的平均值、A类不确定度,再考虑仪器误差殼仪 ,并计算出合成标准不 确定度u填入上述各表中. 2.将各个多次测量的平均值、单次测量值(L,m),分别代入(3灢1灢6)式和(3灢1灢7)式,计算 I焻盘 及 N煆丝 . 3.计算圆盘转动惯量和金属悬丝的不确定度(先计算相对不确定度ur)、扩展不确定度. 4.写出本次实验结果. I盘 =I焻盘 暲U(I盘 )= kg·m2; N丝 =N煆丝 暲U(N丝 )= N·m-2. 暰注意事项暱 1.钢丝应固定在圆盘的中心且圆盘应水平. 2.测量钢丝的长度,应为两夹头间的距离. 3.圆环必须同心地加到圆盘上. 暰预习思考题暱 使扭摆做角振动时应注意什么? 暰讨论思考题暱 1.为什么钢丝的直径必须准确测定? 2.根据对本实验的分析,你认为在什么情况下可采用比较测量法? 3灡1灡2 用转动惯量仪测刚体的转动惯量 暰实验目的暱 1.学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法. 图3灢1灢2 转动惯量实验组合仪 2.观测转动惯量随质量、质量分 布及转动轴线的不同而改变的情况, 验证平行轴定理. 3.学会使用智能计数计时器(或 通用电脑式毫秒计)测量时间. 暰实验原理暱 1.转动惯量实验仪 刚体的转动惯量实验仪主要由圆 形载物台(转盘)、绕线塔轮、遮光棒、光 电门和小滑轮组成,如图3灢1灢2所示. 绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴 上,使转动时的摩擦力矩很小,遮光棒 固定在载物台边缘,光电门固定在底座圆周直径的两端.塔轮上有5个不同半径的绕线轮,塔轮 第3章 基础实验 ·41·
:42:大学物理实验半径为1.5cm，2.0cm，2.5cm，3.0cm，3.5cm共5挡可与大约5g的码托及1个5g，4个10g的码组合，以改变转动系统所受的外力矩（细线的拉力矩）.载物台用螺钉与塔轮连接在一起，随塔轮转动配备的被测试样有一个圆盘，一个圆环和两个圆柱体为了便于将转动惯量的测试值与理论计算值比较，圆柱试样可插入载物台上的不同孔（图3-1-3），这些孔在载物台相互垂直的两直径上，离中心的距离分别为4.5cm，6.0cm，7.5cm，9.0cm，10.5cm.改变小圆柱的位置可以改变包括小圆柱在内的转动系统的转动惯量，便于验证平行轴定理，铝制小滑轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记，一只光电门作测量：一只作备用，可通过智能计时计数器上的接钮方便的切换2.匀角加（减）速度的测量实验中采用智能计数计时器（使用方法见附录2），或通用电图3-1-3载物台（转盘）脑式毫秒计（使用方法见附录5）记录遮挡次数和相应的时间.固定在载物台圆周边缘相差元角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产生一个计数光电脉冲，计数计时器计下遮档次数和相应的时间t，若从第一次挡光（k=0，t=0）开始计次、计时，且初始角速度为o，则对于匀变速运动中测量得到的任意两组数据（km，tm）、（kg，t），相应的角位移0m，0。分别为pt2(3-1-8)0m=km元=0otm+1tO,=k,元=wot+(3-1-9)其中β为匀角加（减）速度.从（3-1-8）式、（3-1-9）式中消去@。得β=2x(kntm-kmt)(3-1-10)ttm-tat,3.转动惯量的测量根据刚体定轴转动定律M=β,(3-1-11)只要测出刚体转动时所受的总合外力矩M及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，就可计算出该刚体的转动惯量I.设以某初始角速度转动的空转台的转动惯量为I未加础码时，在摩擦阻力矩M.的作用下，转台将以角加速度β做勾角减速度运动，则有-M,=Ipi.(3-1-12)将质量为m的础码用细线绕在半径为R的转台塔轮上并让码下落，系统在恒外力矩作用下做匀角加速度运动.若础码的加速度为a，则细线给转台的力矩为Mr=（mg一ma）R.若此时转台的角加速度为β2,则有α=Rβ2,所以细线给转台的力矩为M=m(g一Rβ2)R.此时有(3-1-13)m(g-R2)R-M,=Iβ2将（3-1-12）式代人（3-1-13）式，消去M，得I,=m(g-R,)R(3-1-14)β,-β1同理，若在转台加上被测物体后系统的转动惯量为12，加码前后的角加速度分别为β
半径为1.5cm,2.0cm,2.5cm,3.0cm,3.5cm共5挡,可与大约5g的砝码托及1个5g,4个10 g的砝码组合,以改变转动系统所受的外力矩(细线的拉力矩).载物台用螺钉与塔轮连接在一起, 随塔轮转动.配备的被测试样有一个圆盘,一个圆环和两个圆柱体. 图3灢1灢3 载物台(转盘) 为了便于将转动惯量的测试值与理论计算值比较.圆柱试 样可插入载物台上的不同孔(图3灢1灢3),这些孔在载物台相互垂 直的两直径上,离中心的距离分别为4.5cm,6.0cm,7.5cm, 9.0cm,10.5cm.改变小圆柱的位置可以改变包括小圆柱在内 的转动系统的转动惯量,便于验证平行轴定理.铝制小滑轮的转 动惯量与实验台相比可忽略不记.一只光电门作测量,一只作备 用,可通过智能计时计数器上的按钮方便的切换. 2.匀角加(减)速度的测量 实验中采用智能计数计时器(使用方法见附录2),或通用电 脑式毫秒计(使用方法见附录5)记录遮挡次数和相应的时间.固 定在载物台圆周边缘相差毿角的两遮光细棒,每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门,即 产生一个计 数 光 电 脉 冲,计 数 计 时 器 计 下 遮 档 次 数k 和 相 应 的 时 间t.若 从 第 一 次 挡 光 (k=0,t=0)开始计次、计时,且初始角速度为氊0,则对于匀变速运动中测量得到的任意两组 数据(km,tm)、(kn,tn),相应的角位移毴m,毴n 分别为 毴m =km毿=氊0tm + 1 2毬t2 m, (3灢1灢8) 毴n =kn毿=氊0tn + 1 2毬t2 n, (3灢1灢9) 其中毬为匀角加(减)速度.从(3灢1灢8)式、(3灢1灢9)式中消去氊0 得 毬= 2毿(kntm -kmtn) t2 ntm -t2 mtn . (3灢1灢10) 3.转动惯量的测量 根据刚体定轴转动定律 M =I毬, (3灢1灢11) 只要测出刚体转动时所受的总合外力矩 M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度毬,就可计算 出该刚体的转动惯量I. 设以某初始角速度转动的空转台的转动惯量为I1.未加砝码时,在摩擦阻力矩 M毺 的作用 下,转台将以角加速度毬1 做匀角减速度运动,则有 -M毺 =I1毬1. (3灢1灢12) 将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的转台塔轮上并让砝码下落,系统在恒外力矩作用 下做匀角加速度运动.若砝码的加速度为a,则细线给转台的力矩为 MT = (mg-ma)R.若此时 转台的角加速度为毬2,则有a= R毬2,所以细线给转台的力矩为 MT = m(g-R毬2)R.此时有 m(g-R毬2)R-M毺 =I1毬2. (3灢1灢13) 将(3灢1灢12)式代入(3灢1灢13)式,消去 M毺 得 I1 = m(g-R毬2)R 毬2 -毬1 . (3灢1灢14) 同理,若在转台加上被测物体后系统的转动惯量为I2,加砝码前后的角加速度分别为毬3 ·42· 大学物理实验
第3章基础实验:43.和β4,则有1=m(g-Rp)R(3-1-15)β,-β3由转动惯量的叠加原理可知，被测物体的转动惯量为I=I2-I14.验证平行轴定理设质量为m的物体围绕通过质心的转轴转动的转动惯量为Ic，当转轴平行移动距离3后，绕新”转轴的转动惯量I，I与Ic之间满足下列关系：(3-1-16)I=Ic+mr2实验中若测得此关系，则验证了平行轴定理5.待测物转动惯量的理论公式设待测圆盘（柱）的质量为m、半径为r（直径为d），则圆盘（柱）绕几何中心轴的转动惯量理论值为1=+mr"=+md2.(3-1-17)2″81若待测圆环的质量为m，内外半径分别为r，r外（内外直径为d肉，d），圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为1=1=青m(d+d).m(r两十r弄）=(3-1-18)28【实验仪器】ZKY-ZS型（或JM-2型）转动惯量实验仪及附件、ZK-TD智能计数计时器（见附录2）或HMS-2通用电脑式毫秒计（见附录5）、水准仪、码与细线等【实验内容】1.将水准仪放置在载物转台中央，调节转动惯量仪底座螺钉，使载物转台水平，调整固定在转台底面边缘的滑轮支架上的滑轮高度及方位，使滑轮槽与选取的绕线塔轮槽等高，且其方位相互垂直（图3-1-2）2.用数据线将智能计数计时器（或通用电脑式掌秒计）中的一个通道（即输入端）与转动惯量实验仪其中一个光电门相连（只接通一路）3.测量空转台的转动惯量1台（即I.）：（1）开启智能计数计时器（或通用电脑式毫秒计），选择“计时12多脉冲”模式（2）用手轻轻拨动转台，使其有一初始转速并在摩擦阻力矩作用下做匀减速转动（3）按“确定/暂停”按钮进行测量，转台转动约6～8圈后按“确定/暂停”按钮停止测量，（4）查阅数据，并将与遮挡次数K.，K2，,K。对应的时间t1,t2，,ts记人表3-1-4中.采用逐差法处理数据，将第1和第5组，第2和第6组，......分别组成4组，用（3-1-10）式计算对应各组的β1值，然后求其平均值作为β的测量值，（5）选择塔轮半径R及码质量m，将一端打结的细线沿塔轮上开的细缝塞入，并且不重叠地密绕于所选定半径的轮上，细线另一端通过滑轮后连接码托上的挂钩，用手将载物台稳住（6）释放载物台，使其在细线拉力产生的恒力矩作用下做匀加速转动（7）选择“计时1=2多脉冲”模式，重复步骤（3）
和毬4,则有 I2 = m(g-R毬4)R 毬4 -毬3 . (3灢1灢15) 由转动惯量的叠加原理可知,被测物体的转动惯量为 I=I2 -I1. 4.验证平行轴定理 设质量为m 的物体围绕通过质心的转轴转动的转动惯量为IC,当转轴平行移动距离x 后,绕“新暠转轴的转动惯量I,I与IC 之间满足下列关系: I=IC +mx2. (3灢1灢16) 实验中若测得此关系,则验证了平行轴定理. 5.待测物转动惯量的理论公式 设待测圆盘(柱)的质量为m、半径为r(直径为d),则圆盘(柱)绕几何中心轴的转动惯量 理论值为 I= 1 2 mr2 = 1 8 md2. (3灢1灢17) 若待测圆环的质量为m,内外半径分别为r内 ,r外 (内外直径为d内 ,d外 ),圆环绕几何中心轴 的转动惯量理论值为 I= 1 2 m(r2 内 +r2 外 )= 1 8 m(d2 内 +d2 外 ). (3灢1灢18) 暰实验仪器暱 ZKY ZS型(或JM 2型)转动惯量实验仪及附件、ZK TD智能计数计时器(见附录2) 或 HMS 2通用电脑式毫秒计(见附录5)、水准仪、砝码与细线等. 暰实验内容暱 1.将水准仪放置在载物转台中央,调节转动惯量仪底座螺钉,使载物转台水平.调整固定 在转台底面边缘的滑轮支架上的滑轮高度及方位,使滑轮槽与选取的绕线塔轮槽等高,且其方 位相互垂直(图3灢1灢2). 2.用数据线将智能计数计时器(或通用电脑式毫秒计)中的一个通道(即输入端)与转动 惯量实验仪其中一个光电门相连(只接通一路). 3.测量空转台的转动惯量I台 (即I1): (1)开启智能计数计时器(或通用电脑式毫秒计),选择“计时1 2多脉冲暠模式. (2)用手轻轻拨动转台,使其有一初始转速并在摩擦阻力矩作用下做匀减速转动. (3)按“确定/暂停暠按钮进行测量,转台转动约6~8圈后按“确定/暂停暠按钮停止测量. (4)查阅数据,并将与遮挡次数K1,K2,.,K8 对应的时间t1,t2,.,t8 记入表3灢1灢4中.采 用逐差法处理数据,将第1和第5组,第2和第6组,. 分别组成4组,用(3灢1灢10)式计算对 应各组的毬1 值,然后求其平均值作为毬1 的测量值. (5)选择塔轮半径R 及砝码质量m,将一端打结的细线沿塔轮上开的细缝塞入,并且不重 叠地密绕于所选定半径的轮上,细线另一端通过滑轮后连接砝码托上的挂钩,用手将载物台 稳住. (6)释放载物台,使其在细线拉力产生的恒力矩作用下做匀加速转动. (7)选择“计时1 2多脉冲暠模式,重复步骤(3). 第3章 基础实验 ·43·
大学物理实验.44:（8）重复步骤（4）计算βz的测量值.由（3-1-14）式即可算出空转台的转动惯量I，的值4.测量台加盘的转动惯量I合+盘（即I2）：将圆盘放置在载物台上，按照测I.的方法测I谷+盘，数据填人表3-1-4中，重复步骤（4）计算βs，β.的测量值.由（3-1-15）式即可算出台加盘的转动惯量I+盘的值5.测量台加环的转动惯量1台+环（即12）：取下圆盘，将圆环放置在载物台上，按照上述方法测I台+环，数据填入表3-1-4中，按步骤4的方法即可算出台加环的转动惯量1谷+盘的值，6.测量台加柱的转动惯量I台+（以验证平行轴定理）：取下圆环，将两个相同的圆柱体对称地插入载物台上与中心距离为r的圆孔中，用上述方法测量并计算台加柱的转动惯量I台+的值表 3-1-4次数2K5K.6K,7KsK.K23K4Ks刚β. /s-2时拉1/kgm2体力ts/s(i-1.2....ti/st2/sts/sta/sts/st-/sta/s矩无空I合=台有台无合+盘=+有盘台无I合+环 =+有环无li台+柱 =台有+无li台+柱，=柱有注：p是用逐差法选取数据计算β，=2x(ki±二k)(4次）的平均值t++-t其他有关参数的测量记入表3-1-5表 3-1-5磁码的质量m/g绕线轮半径R/cm圆盘的质量m盘/g24圆盘的直径d盘/cm2124圆环的质量m环/g圆环的内径d肉/cm圆环的内径d/cm小圆柱质量m#/g3小圆柱直径d柱/cm【数据处理】1.计算空台、圆盘、圆环转动惯量的测量值，将I盘，I环与理论值I盘理，I环理比较，并求出各自的相对误差。用逐差法根据表3-1-4中的测量数据和（3-1-10）式分别计算空台、空台+圆盘、空台十+圆环的角加速度β.然后根据（3-1-14）式或（3-1-15）式求出它们的转动惯量，进而求出圆盘和圆环的转动惯量，再根据（3-1-17）式和（3-1-18）式求出它们的转动惯量理论值，并比较理论值与测量值.计算相对误差E
(8)重复步骤(4)计算毬2 的测量值.由(3灢1灢14)式即可算出空转台的转动惯量I1 的值. 4.测量台加盘的转动惯量I台+盘 (即I2):将圆盘放置在载物台上,按照测I1 的方法测 I台+盘 ,数据填入表3灢1灢4中,重复步骤(4)计算毬3,毬4 的测量值.由(3灢1灢15)式即可算出台加盘 的转动惯量I台+盘 的值. 5.测量台加环的转动惯量I台+环 (即I2):取下圆盘,将圆环放置在载物台上,按照上述方法 测I台+环 ,数据填入表3灢1灢4中,按步骤4的方法即可算出台加环的转动惯量I台+盘 的值. 6.测量台加柱的转动惯量I台+柱 (以验证平行轴定理):取下圆环,将两个相同的圆柱体对 称地插入载物台上与中心距离为x 的圆孔中,用上述方法测量并计算台加柱的转动惯量I台+柱 的值. 表3灢1灢4 刚 体 拉 力 矩 时 间 次 数K1 =1K2 =2K3 =3K4 =4K5 =5K6 =6K7 =7K8 =8 t1/s t2/s t3/s t4/s t5/s t6/s t7/s t8/s 毬i/s-2 (i=1,2,.) I/kg·m2 空 台 无 有 I台 = 台 + 盘 无 有 I台+盘 = 台 + 环 无 有 I台+环 = 台 + 柱 无 有 无 有 I1台+柱 = I1台+柱 = 注:毬i 是用逐差法选取数据计算毬i = 2毿(kiti+4 -ki+4ti) t2 iti+4 -t2 i+4ti (4次)的平均值. 其他有关参数的测量记入表3灢1灢5. 表3灢1灢5 砝码的质量 m/g 绕线轮半径R/cm — — 圆盘的质量 m盘/g 圆盘的直径d盘/cm 24 — — 圆环的质量 m环/g 圆环的内径d内/cm 21 圆环的内径d外/cm 24 小圆柱质量 m柱/g 小圆柱直径d柱/cm 3 — — 暰数据处理暱 1.计算空台、圆盘、圆环转动惯量的测量值,将I盘 ,I环 与理论值I盘理 ,I环理 比较,并求出各 自的相对误差. 用逐差法根据表3灢1灢4中的测量数据和(3灢1灢10)式分别计算空台、空台+圆盘、空台+圆 环的角加速度毬,然后根据(3灢1灢14)式或(3灢1灢15)式求出它们的转动惯量,进而求出圆盘和圆 环的转动惯量,再根据(3灢1灢17)式和(3灢1灢18)式求出它们的转动惯量理论值,并比较理论值 与测量值,计算相对误差E. ·44· 大学物理实验
第3章基础实验·451gmadg圆盘的转动惯量：I盘=I台+盘—I=：I监理相对误差;Erα =L=lam | × 100% -;I盘理1圆环的转动惯量：I环=I台+环一I=；1环理m环（d弄十d）=8相对误差;E,称 = LI二 1 量 | × 100% =I环理2.计算单个圆柱体绕“新”转轴的转动惯量的实验值与理论值比较，验证平行轴定理(l台+#—1名）=单个圆柱体的转动惯量I=I理一;Ea--gmed +m# zi -（12台+#—1谷）=单个圆柱体的转动惯量I，=I2现m桂d+m=;Er28如果小圆柱体转动惯量实验值对于理论值相对误差很小，则验证了（3-1-16）式的正确性.如果验证失败，分析失败的原因【注意事项】1.水平泡容易损坏，注意不要摔坏2.必须使滑轮的凹槽和绕线轮盘在同一水平面上，3.释放础码时，必须使础码处于基本静止的铅直状态4.释放础码时，遮光杆必须在光电门内，当系统转动时，不能有磕碰现象【预习思考题】1.总结本实验所要求满足的条件，说明它们在实验中是如何实现的？2.为什么要保证细线水平及与载物台转轴垂直？用三线摆测刚体的转动惯量3.1.3【实验目的】1.学会用三线摆测定物体的转动惯量2.学会用累积放大法测量摆动的周期，3.验证转动惯量的平行轴定理【实验原理】1.测定刚体的转动惯量如图3-1-4所示为FB210型三线摆实验仪的实物照片.上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上，三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连图3-1-4三线摆上圆盘固定，下圆盘可绕中心轴O做扭摆运动.当下盘转动角度很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可近似看作简谐振动.根据能量守恒定律和刚体转动定律均可以导出下盘绕中心轴0O°的转动惯量为（见附录3）：
圆盘的转动惯量:I盘 =I台+盘 -I台 = ;I盘理 = 1 8 m盘 d2 盘 = ; 相对误差:Er盘 = 旤I盘 -I盘理 旤 I盘理 暳100% = ; 圆环的转动惯量:I环 =I台+环 -I台 = ;I环理 = 1 8 m环 (d2 外 +d2 内 )= ; 相对误差:Er环 = 旤I环 -I环理 旤 I环理 暳100% = . 2.计算单个圆柱体绕“新暠转轴的转动惯量的实验值与理论值比较,验证平行轴定理. 单个圆柱体的转动惯量I1 = 1 2 (I1台+柱 -I台 )= ; I1理 = 1 8 m柱d2 柱 +m柱 x2 1 = ;Er1 = . 单个圆柱体的转动惯量I2 = 1 2 (I2台+柱 -I台 )= ; I2理 = 1 8 m柱d2 柱 +m柱x2 2 = ;Er2 = . 如果小圆柱体转动惯量实验值对于理论值相对误差很小,则验证了(3灢1灢16)式的正确 性.如果验证失败,分析失败的原因. 暰注意事项暱 1.水平泡容易损坏,注意不要摔坏. 2.必须使滑轮的凹槽和绕线轮盘在同一水平面上. 3.释放砝码时,必须使砝码处于基本静止的铅直状态. 4.释放砝码时,遮光杆必须在光电门内,当系统转动时,不能有磕碰现象. 暰预习思考题暱 1.总结本实验所要求满足的条件,说明它们在实验中是如何实现的? 图3灢1灢4 三线摆 2.为什么要保证细线水平及与载物台转轴垂直? 3灡1灡3 用三线摆测刚体的转动惯量 暰实验目的暱 1.学会用三线摆测定物体的转动惯量. 2.学会用累积放大法测量摆动的周期. 3.验证转动惯量的平行轴定理. 暰实验原理暱 1.测定刚体的转动惯量 如图3灢1灢4所示为FB210型三线摆实验仪的实物照片.上、下圆盘 均处于水平,悬挂在横梁上.三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连. 上圆盘固定,下圆盘可绕中心轴 OO曚 做扭摆运动.当下盘转动角度很 小,且略去空气阻力时,扭摆的运动可近似看作简谐振动.根据能量守恒定律和刚体转动定律 均可以导出下盘绕中心轴 OO曚的转动惯量为(见附录3): 第3章 基础实验 ·45·
:46:大学物理实验I-moSRrTs,(3-1-19)4元2H。式中，m。为下盘的质量，r，R分别为上下盘悬点离各自圆盘中心的距离，H。为平衡时上下盘间的垂直距离，T。为下盘做简谐运动的周期，g为重力加速度将质量为m1的待测物体放在下盘上，并使待测刚体的转轴与OO轴重合，测出此时三线摆运动周期T。和上下圆盘间的垂直距离H.同理可求得待测物体和下圆盘对中心转轴O轴的总转动惯量为Io - (mo tm)gRr Ta.(3-1-20)4元H如不计因重量变化而引起悬线伸长，则有H～H。.那么，待测物体绕中心轴的转动惯量为I, = lo I。=-gRE-[(mo+ m) Te moTa].(3-1-21)4元2H。因此，通过长度、质量和时间的测量，便可求出刚体绕中心轴的转动惯量2.验证平行轴定理用三线摆法还可以验证平行轴定理，若质量为m的物体0以通过其质心为轴的转动惯量为Ic，当转轴平行移动距离r时（图3-1-5），则此物体对新轴O°的转动惯量理论值为Ioy =le+mr,这一结论称为转动惯量的平行轴定理.0实验中将质量均为m2、半径为r2、形状和质量分布完全相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上（下盘有对称的两图3-1-5平行轴定理示意图个小孔）.按前面所述方法，测出两小圆柱体和下圆盘绕中心轴OO°的转动周期T？则可求出单个小圆柱体对中心转轴OO°的转动惯量1[(mo+ 2m2)gRr T - I。Iz-(3-1-22)24元H1因为圆柱体通过其轴心的转动惯量Icm2r，所以，如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之2间的距离工以及小圆柱体的半径r2，则由平行轴定理可求得小圆柱体转动惯量的理论值I'=le+m22=1n(3-1-23)mr+m2r22比较I，与I，的大小，若两数值接近，可验证平行轴定理【实验仪器】1.FB210型（双支架）三线摆转动惯量实验仪2.FB213A型数显计时计数毫秒仪（使用说明见附录3）3.米尺、游标卡尺，【实验内容】1.调整三线摆装置（1）观察上圆盘上的水准器，调节底板上三个调节螺钉，使上圆盘处于水平状态，（2）观察下圆盘上的水准器，调节上圆盘上三个悬线长度调节螺钉，把下圆盘调到水平状态，此时三悬线必然等长，固定紧固螺钉
I0 = m0gRr 4毿2H0 T2 0, (3灢1灢19) 式中,m0 为下盘的质量,r,R 分别为上下盘悬点离各自圆盘中心的距离,H0 为平衡时上下盘 间的垂直距离,T0 为下盘做简谐运动的周期,g为重力加速度. 将质量为m1 的待测物体放在下盘上,并使待测刚体的转轴与 OO曚轴重合.测出此时三线 摆运动周期T01 和上下圆盘间的垂直距离 H.同理可求得待测物体和下圆盘对中心转轴 OO曚 轴的总转动惯量为 I01 = (m0 +m1)gRr 4毿2H0 T2 01. (3灢1灢20) 如不计因重量变化而引起悬线伸长,则有 H 曋 H0.那么,待测物体绕中心轴的转动惯量为 I1 =I01 -I0 = gRr 4毿2H0 [(m0 +m1)T2 01 -m0T2 0]. (3灢1灢21) 因此,通过长度、质量和时间的测量,便可求出刚体绕中心轴的转动惯量. 2.验证平行轴定理 图3灢1灢5 平行轴定理示意图 用三线摆法还可以验证平行轴定理.若质量为 m 的物体 以通过其质心为轴的转动惯量为IC,当转轴平行移动距离x 时(图3灢1灢5),则此物体对新轴 OO曚的转动惯量理论值为 IOO曚 =IC +mx2, 这一结论称为转动惯量的平行轴定理. 实验中将质量均为m2、半径为r2、形状和质量分布完全 相同的两个圆柱体对称地放置在下圆盘上(下盘有对称的两 个小孔).按前面所述方法,测出两小圆柱体和下圆盘绕中心 轴 OO曚的转动周期T02,则可求出单个小圆柱体对中心转轴 OO曚的转动惯量 I2 = 1 2 (m0 +2m2)gRr 4毿H0 T2 02 -I é ë êê ù û ú 0ú . (3灢1灢22) 因为圆柱体通过其轴心的转动惯量IC = 1 2 m2r2 2,所以,如果测出小圆柱中心与下圆盘中心之 间的距离x 以及小圆柱体的半径r2,则由平行轴定理可求得小圆柱体转动惯量的理论值 I曚2=IC +m2x2 = 1 2 m2r2 2 +m2x2. (3灢1灢23) 比较I曚2与I2 的大小,若两数值接近,可验证平行轴定理. 暰实验仪器暱 1.FB210型(双支架)三线摆转动惯量实验仪. 2.FB213A 型数显计时计数毫秒仪(使用说明见附录3). 3.米尺、游标卡尺. 暰实验内容暱 1.调整三线摆装置 (1)观察上圆盘上的水准器,调节底板上三个调节螺钉,使上圆盘处于水平状态. (2)观察下圆盘上的水准器,调节上圆盘上三个悬线长度调节螺钉,把下圆盘调到水平状 态,此时三悬线必然等长,固定紧固螺钉. ·46· 大学物理实验
第3章基础实验.47（3）适当调整光电传感器安装位置，使下圆盘边上的挡光杆能自由往返通过光电门2.测量周期T。和To，To2（1）接通FB213A型数显计时计数毫秒仪的电源，把光电接收装置与毫秒仪连接.合上毫秒仪电源开关，预置测量次数为20次.设置计数次数时，分别按“置数”键的十位或个位按钮进行调节（注意：数字调节只能按进位操作），设置完成后会自动保持设置值，直到再次改变设置为止（2）测量周期T。：首先使下圆盘处于静止状态，然后拨动上圆盘的“转动手柄”，将上圆盘转过一个小角度（5°左右），带动下圆盘绕中心轴O做微小扭摆运动.经过若干周期，待运动稳定后，按毫秒仪上的“执行”键，毫秒仪开始计时，每计量一个周期，周期显示数值自动逐1递减，直到递减为0时，计时结束，毫秒仪显示出累计20个周期的时间，将数据记录到表3-1-6中，重复6次注意：每开始一次测量时，要先按毫秒仪的“返回”键，使毫秒仪进入计时状态，（3）测定摆动周期To1：将圆环放在下圆盘上，使两者的中心轴线相重叠，测量转动20个周期所用的时间，重复6次，将数据记录到表3-1-6中（4）测定摆动周期To2：将两个小圆柱体对称放置在下圆盘上，测量转动20个周期所用的时间，重复6次，将数据记录到表3-1-6中，表3-1-6累积法测周期数据记录表次数下盘下盘十两个圆柱下盘十圆环1扭摆220次3所需的4时间T5/s6平均摆动1个周期T。ToToz时间T/20/s3.用米尺测量圆环内、外直径，用游标尺测小圆柱体直径各6次，数据记录到表3-1-7中表 3-1-7相关直径多次测量数据记录表次数12563A平均值/mm项目F丙 =圆环内直径2rT井=圆环外直径2r外小圆柱体直径2rT2 =4.单次测量数据用米尺分别测出上下圆盘三悬点之间的距离a和b，然后算出悬点到中心的距离r和R（等边三角形外接圆半径）.测量上下盘垂直距离H。，放置小圆柱体两孔中心间距2r，记录各刚体的质量
(3)适当调整光电传感器安装位置,使下圆盘边上的挡光杆能自由往返通过光电门. 2.测量周期T0 和T01,T02 (1)接通FB213A型数显计时计数毫秒仪的电源,把光电接收装置与毫秒仪连接.合上毫秒 仪电源开关,预置测量次数为20次.设置计数次数时,分别按“置数暠键的十位或个位按钮进行调 节(注意:数字调节只能按进位操作),设置完成后会自动保持设置值,直到再次改变设置为止. (2)测量周期T0:首先使下圆盘处于静止状态,然后拨动上圆盘的“转动手柄暠,将上圆盘 转过一个小角度(5曘左右),带动下圆盘绕中心轴 OO曚做微小扭摆运动.经过若干周期,待运动 稳定后,按毫秒仪上的“执行暠键,毫秒仪开始计时,每计量一个周期,周期显示数值自动逐1递 减,直到递减为0时,计时结束,毫秒仪显示出累计20个周期的时间,将数据记录到表3灢1灢6 中,重复6次. 注意:每开始一次测量时,要先按毫秒仪的“返回暠键,使毫秒仪进入计时状态. (3)测定摆动周期T01:将圆环放在下圆盘上,使两者的中心轴线相重叠,测量转动20个周 期所用的时间,重复6次,将数据记录到表3灢1灢6中. (4)测定摆动周期T02:将两个小圆柱体对称放置在下圆盘上,测量转动20个周期所用的 时间,重复6次,将数据记录到表3灢1灢6中. 表3灢1灢6 累积法测周期数据记录表 扭摆 20次 所需的 时间T /s 次数 下盘 下盘 + 圆环 下盘 + 两个圆柱 1 2 3 4 5 6 平均 摆动1个周期 时间T/20/s T0 = T01 = T02 = 3.用米尺测量圆环内、外直径,用游标尺测小圆柱体直径各6次,数据记录到表3灢1灢7中. 表3灢1灢7 相关直径多次测量数据记录表 次 数 项 目 1 2 3 4 5 6 平均值/mm 圆环内直径2r内 r内 = 圆环外直径2r外 r外 = 小圆柱体直径2r2 r2 = 4.单次测量数据 用米尺分别测出上下圆盘三悬点之间的距离a和b,然后算出悬点到中心的距离r和R(等 边三角形外接圆半径).测量上下盘垂直距离 H0,放置小圆柱体两孔中心间距2x,记录各刚体 的质量. 第3章 基础实验 ·47·