第8章 MATLAB数值积分与微分 8,1数值积分 82数值微分
第8章 MATLAB数值积分与微分 8.1 数值积分 8.2 数值微分
81数值积分 81.1数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样,如简单 的梯形法、辛普生Smn法、生顿一柯 特斯(Newt0 n-Cotes)法等都是经常来用的方 法。它们的基本思想都是将整个积分区间 a,b分成n个子区间[x,x,i=12 其 中x=a,x=b。这样求是积分问题就分解 为求和问题
8.1 数值积分 8.1.1 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单 的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－柯 特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方 法。它们的基本思想都是将整个积分区间 [a,b]分成n个子区间[xi ,xi+1]，i=1,2,…,n，其 中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解 为求和问题
812数值积分的实现方法 1.变步长辛普生法 基于变步长辛普生法, MATLAB给出了quad函数来 求定积分。该函数的调用格式为: Ln=quad(fname, a, b tol, trace) 其中 fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下 限和上限。to用来控制积分精度,缺省时取 tol=0.001 trace控制是否展现积分过程,若取非0 则展现积分过程,取0则不展现,缺省时取 trace=0。返回参数即定积分值,n为被积函数的 调用次数
8.1.2 数值积分的实现方法 1．变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来 求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下 限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取 tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0 则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取 trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的 调用次数
例8-1求定积分。 1)建立被积函数文件 fein.m。 function f=fesi(x) f=exp (-05*x) *sin(x+pi/6) (2)调用数值积分函数quad求定积分。 S, n=quad resin, 0, 3 pi) S 0.9008 77
例8-1 求定积分。 (1) 建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad('fesin',0,3*pi) S = 0.9008 n = 77
2.牛顿一柯特斯法 基于牛顿一柯特斯法, MATLAB给出了 ud8函数来求定积分。该函数的调用格式 L, n=quads(fname, a, b tol, trace) 其中参数的含义和quad函数相似,只是to的 缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出 定积分的值,且一般情况下函数调用的步 数明显小于quad函数;从而保证能以更高 的效率求出所需的定积分值
2．牛顿－柯特斯法 基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了 quad8函数来求定积分。该函数的调用格式 为： [I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的 缺省值取10-6。 该函数可以更精确地求出 定积分的值，且一般情况下函数调用的步 数明显小于quad函数，从而保证能以更高 的效率求出所需的定积分值
例8-2求定积分。 (1)被积函数文件fxm。 function f=fx(x) f=x *sin(x). /(1+cos(x). *coS(x)); (2)调用函数quad8求定积分 I=quads(fx,0, pi) 2.4674
例8-2 求定积分。 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8('fx',0,pi) I = 2.4674
例83分别用qud函数和quad8函数求定积分的近 似值,并在相同的积分精度下,比较函数的调用 次数 调用函数quad求定积分: format long: fx=inline(exp(-x)") L,n=quad(fx,1,2.5,1e-10) 0.28579444254766 65
例8-3 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近 似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用 次数。 调用函数quad求定积分： format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254766 n = 65
调用函数quad8求定积分: format long; fx=inline(exp(-x)); I, n]=quads (fx, 1, 2.5,1e-10) 0.28579444254754 33
调用函数quad8求定积分： format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254754 n = 33
3.被积函数由一个表格定义 在 MATLAB中,对由表格形式定义的函数关系的求定积分 问题用 traps(X,Y函数。其中向量X,Y定义函数关系 Y=f(X) 例8-4用 trapz函数计算定积分。 命令如下: X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans 0.28579682416393
3．被积函数由一个表格定义 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分 问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系 Y=f(X)。 例8-4 用trapz函数计算定积分。 命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans = 0.28579682416393
813二重定积分的数值求解 使用 MATLAB提供的 biquad函数 就可以直接求出上述二重定积分的 数值解。该函数的调用格式为 I=dblquad (f, a, b, c, d, tol, trace) 该函数求(x2y)在|a2b×c,d区域上 的二重定积分。参数tol, tracel的 用法与函数quad完全相同
8.1.3 二重定积分的数值求解 使用MATLAB提供的dblquad函数 就可以直接求出上述二重定积分的 数值解。该函数的调用格式为： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上 的二重定积分。参数tol，trace的 用法与函数quad完全相同