CH3、控制系统的数学描述与建模 口控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的 地位,要对系统进行仿真处理,首先应当知道系统的数学 模型,然后才可以对系统进行模拟。同样,如果知道了系 统的模型,才可以在此基础上设计一个合适的控制器,使 得系统响应达到预期的效果,从而符合工程实际的需要。 在线性系统理论中,一般常用的数学模型形式有:传递函 数模型(系统的外部模型)、状态方程模型(系统的内部模 型)、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都 有着内在的联系,可以相互进行转换
CH3、控制系统的数学描述与建模 ❑ 控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的 地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学 模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系 统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使 得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。 ❑在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函 数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模 型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都 有着内在的联系，可以相互进行转换
第一节系统的分类 按系统性能分:线性系统和非线性系统;连续系统和离散 系统;定常系统和时变系统;确定系统和不确定系统 1、线性连续系统:用线性微分方程式来描述,如果微分方程 的系数为常数,则为定常系统;如果系数随时间而变化, 则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连 续系统为主。 2、线性定常离散系统:离散系统指系统的某处或多处的信号 为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。 3、非线性系统:系统中有一个元部件的输入输出特性为非线 性的系统
• 按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散 系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。 1、线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分方程 的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化， 则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连 续系统为主。 2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号 为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。 3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线 性的系统。 第一节 系统的分类
第二节线性定常连续系统的微分方程模型 ·微分方程是控制系统模型的基础,一般来讲,利用 机械学、电学、力学等物理规律,便可以得到控制 系统的动态方程,这些方程对于线性定常连续系统 而言是一种常系数的线性微分方程。 〓·如果已知输入量及变量的初始条件,对微分方程进 行求解,就可以得到系统输出量的表达式,并由此 对系统进行性能分析。 ·通过拉氏变换和反变换,可以得到线性定常系统的 解析解,这种方法通常只适用于常系数的线性微分 方程,解析解是精确的,然而通常寻找解析解是困 难的。 MATLAB提供了ode23、ode45等徼分方程的 数值解法函数,不仅适用于线性定常系统,也适用 于非线性及时变系统
• 微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用 机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制 系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统 而言是一种常系数的线性微分方程。 • 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进 行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此 对系统进行性能分析。 • 通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的 解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分 方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困 难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的 数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用 于非线性及时变系统。 第二节 线性定常连续系统的微分方程模型
例exp3_1m 电路图如下,R=1.4欧,L=2亨,C=0.32法,初始 状态:电感电流为零,电容电压为0.5V,t0时 刻接入1V的电压,求0<t<15s时,i(t),vo(t)的值, 并且画出电流与电容电压的关系曲线 R t=0(t VS=IV
例exp3_1.m 电路图如下，R=1.4欧，L=2亨，C=0.32法，初始 状态：电感电流为零，电容电压为0.5V，t=0时 刻接入1V的电压，求0<t<15s时，i(t)，vo (t)的值， 并且画出电流与电容电压的关系曲线。 ? Vs=1V t=0 R L C + - i(t) v (t) o
第三节传递函数描述 、连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下: G(S) C(s)6,"+b2s+.+6,S+b m+1 R(S a,s"+a,S"+.+a,s +a,+ 对线性定常系统,式中s的系数均为常数,且a1不等于零 这时系统在 MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构 成的两个向量唯一地确定出来,这两个向量分别用num和 den表示。 num=[b,, b2,..., bm,bm+1 den=[a1, a2,..., an, an+1 注意:它们都是按s的降幂进行排列的
• 对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零， 这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构 成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和 den表示。 num=[b1 ,b2 ,…,bm,bm+1] den=[a1 ,a2 ,…,an ,an+1] 注意：它们都是按s的降幂进行排列的。 1 1 1 2 1 1 1 2 ... ... ( ) ( ) ( ) + − + − + + + + + + + + = = n n n n n m m m a s a s a s a b s b s b s b R s C s G s 第三节 传递函数描述 一、连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下：
零极点增益模型 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式,其 原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式 处理,以获得系统的零点和极点的表示形式。 G(s=K (S-=1)(S-2).(S-2n) (S-P1)(S-P2).(S-pn) K为系统增益,Z为零点,p为极点 令在 MATLAB中零极点增益模型用[zp,K]矢量组表示。即 ☆z=[z1,z2,,zm ☆p=[p1,p2,…,pn] ☆K=k] 令函数t2zp0可以用来求传递函数的零极点和增益
• 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其 原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式 处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 ( )( )...( ) ( )( )...( ) ( ) 1 2 1 2 n m s p s p s p s z s z s z G s K − − − − − − = ❖在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： ❖z=[z1,z2,…,zm] ❖p=[p1,p2,...,pn] ❖K=[k] ❖函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。 二、零极点增益模型 K为系统增益，zi为零点，pj为极点
三、部分分式展开 ·控制系统常用到并联系统,这时就要对系统函数进行分解, 使其表现为一些基本控制单元的和的形式。 °函数[,pk]= residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开, 以及把传函分解为微分单元的形式 ·向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开 后,余数返回到向量r,极点返回到列向量p,常数项返回 到k。 [b,a]= residue(r;p,k)可以将部分分式转化为多项式比 p(s)/q(s)
• 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解， 使其表现为一些基本控制单元的和的形式。 • 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开， 以及把传函分解为微分单元的形式。 • 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开 后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回 到k。 • [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比 p(s)/q(s)。 三、部分分式展开
举例:传递函数描述1)G(s) 12s3+24s2+20 2s4+4s3+6s2+2s+2 》num=[12,24,0,20den=[24622] 2)G(s)= 4(s+2(s2+6+6)2 s(s+1)(s3+3s2+2s+5) 借助多项式乘法函数conV来处理: →》num=4conV([1,2]conv([1,6,6][1,6,6]) >den=conv([1, 0], conv([1, 11, conv ([1, 1], conv([1, 11 [1,3,2,5)
举例：传递函数描述 1） 》num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; 2） 借助多项式乘法函数conv来处理： 》num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6])); 》den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1], [1,3,2,5])))); 2 4 6 2 2 12 24 20 ( ) 4 3 2 3 2 + + + + + + = s s s s s s G s ( 1) ( 3 2 5) 4( 2)( 6 6) ( ) 3 3 2 2 2 + + + + + + + = s s s s s s s s G s
零极点增益模型:G(s) s3+1ls2+30s 》num=[1,11,30,0]; s4+9s3+45s2+87s+50 →》den=[1,9,45,87,50];[Zpk]=t2 zp(num, den) Z- 0 -3.0000+4.0000i 6 3.0000-4.0000i 5 -2.0000 1.0000 结果表达式:G(s)= s(S+6(S+5) (S+1)(S+2)(s+3+4j)s+3-4j)
零极点增益模型： 》num=[1,11,30,0]; 》den=[1,9,45,87,50]; [z,p,k]=tf2zp(num,den) 》 9 45 87 50 11 30 ( ) 4 3 2 3 2 + + + + + + = s s s s s s s G s ( 1)( 2)( 3 4 )( 3 4 ) ( 6)( 5) ( ) s s s j s j s s s G s + + + + + − + + = z= 0 -6 -5 p= -3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000 k= 1 结果表达式：
部分分式展开: 2s3+9s+1 》num=[2,0,9,1] G(s)=3x2 +4s+4 >den=[1, 1, 4, 4]; [r, p, k]=residue(num, den) 0.0000-0.2500i 0.0000+20000i 0.0000+0.2500i 0.0000-2.0000i 2.0000 1.0000 结果表达式:G(s)=2+0.25025i 2 s-2i 5+2i 5+1
部分分式展开： 》num=[2,0,9,1]; 》den=[1,1,4,4]; [r,p,k]=residue(num,den) 》 4 4 2 9 1 ( ) 3 2 3 + + + + + = s s s s s G s 1 2 2 0.25 2 0.25 ( ) 2 + − + + + − − = + s i s i s i i G s p= 0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000 k= 2 r= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000 结果表达式：