81关于实数集完备性的基本定理在第一章与第二章中，我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理并给出了柯西收敛准则.这三个定理反映了实数的一种特性，这种特性称之为完备性.而有理数集是不具备这种性质的·在本章中，将看重介绍与上述三个定理的等价性定理及其应用·这些定理是数学分析理论的基石返回后页前页
前页 后页 返回 在第一章与第二章中, 我们已经证明了实 数集中的确界定理、单调有界定理并给出了 柯西收敛准则. 这三个定理反映了实数的一种 特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是 不具备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与 上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定 理是数学分析理论的基石. §1 关于实数集完备性的基本定理 返回
一、区问套定理与柯西收敛定理二、聚点定理与有限覆盖定理三、实数完备性基本定理的等价性返回后页前页
前页 后页 返回 一、区间套定理与柯西收敛定理 二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的等价性
一、区问套定理与柯西收敛定理定义1设闭区间列i[a.,b,满足如下条件：1. [a,, b,]E [a,+i, b+l , n =1, 2, L ,2. lim(b, - a,) = 0 ,nR则称([a，b1为闭区间套，简称区间套定义1中的条件1实际上等价于条件a邀回后页前页
前页 后页 返回 定义1 定义1 中的条件1 实际上等价于条件 一、区间套定理与柯西收敛定理
定理7.1区间套定理若[a.,b是一个区间套则存在唯一的实数x，使xi [a,b,, n=1,2,L ,或者?(x} = I [an,b, ].n-1nuutuuutuu1 e ol hn b x个xa,a,L a,an,LLbb,Lb,b证 由定义1 的条件1 可知,数列(a,递增,有上置,所以由单调有界定理,可知(a,) 的极限存在,巡回前页后页
前页 后页 返回 定理7.1(区间套定理 ) 或者 证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an }递增, 有上 界b1.所以由单调有界定理, 可知 {an } 的极限存在
设x=liman,nRY从而由定义1的条件2可得limb, = lim(b, - a,)+ lima, =x.nRYnRYnRY因为 a递增,{b, 递减,所以a,fxfbn,这样就证明了x的存在性下面来证明唯一性.设口也满足antx,tbn,巡回后页前页
前页 后页 返回 从而由定义1 的条件2 可得 因为 {an } 递增, {bn } 递减, 所以 下面来证明唯一性. 设 1 也满足 设 这样就证明了 的存在性
那么x-xtb,-a,?0.即x=x,惟一性得证推论设([an,b,l) 是一个区间套,xi [an,b,l,n =1,2,L .则任给口 >0,存在当nN时N.[an,b,li U(x;e).证由区间套定理的证明可得：lima, =limb, =x.nRYn?Y由极限的保号性，对于任意正数口，存在N,后页巡回前页
前页 后页 返回 证 由区间套定理的证明可得: 由极限的保号性, 对于任意正数 , 存在 N, 则任给 > 0, 存在 N, 当 n N 时, 推论 设 {[an ,bn ]} 是一个区间套
当n3 N时,有x-e<a,,b,<x+e.即x-e<ab<x+e,这就是说[a, b,li (x- e, x +e).注1该推论有着很强的应用价值，请大家务必牢记注2区间套定理中的闭区间若改为开区间，那么结1显然论不一定成立.例如对于开区间列弟'n巡回前页后页
前页 后页 返回 注1 该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记. 注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结 论不一定成立. 例如对于开区间列 , 显然 即
O1. 90 16 20. +1 n-1.2 L 二-.ael- 0 0.2. limen2nRY0但是定理1中的口是不存在的，这是因为￥10I 0,E二-n=1Cno11ou1?按照定理1的读者可以反思一下，对于品n证明过程，哪一步通不过？巡回后页前页
前页 后页 返回 但是定理1中的 是不存在的, 这是因 为 证明过程, 哪一步通不过? 的
作为区间套定理的应用，下面来证明柯西收敛准则，即证明数列（α收敛的充要条件是：对任意的>0,存在N,当m,n>N时,有a,-am0,m,n>N时,有Van-A<A.am-22因而有a,-am<a,- A+am-A<e后页巡回前页
前页 后页 返回 作为区间套定理的应用, 下面来证明柯西收敛准 则,即证明数列 {an } 收敛的充要条件是: 对任意的 证 (必要性) > 0, 存在 N
(充分性)由题设,对于任意e>0,存在 N,n3 N时a,-anN时,a,i (an-e,ane),（注意：这并不能说明lima,=a~）nRYT]xan-eanan+e令e=l,存在N,nN,时,a,i (an-,an,+)2取[a,bl-lam-,an,t)l令e-,，存在-万巡回后页前页
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