《测量学》课程教学资源（PPT课件）第六章 测量误差理论

测量误差理论测量误差系统误差：在相同观测条件下，对某一未知量进行一系列的观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化。偶然误差：在相同观测条件下，对某一未知量进行一系列的观测，从单个误差看其大小和符号的出现，没有明显的规律，但从一系列误差总体看，则有一定的统计规律

测量误差理论 测量误差 系统误差：在相同观测条件下，对某一未知量 进行一系列的观测，若误差的大小和符号保持 不变，或按照一定的规律变化。 偶然误差：在相同观测条件下，对某一未知量 进行一系列的观测，从单个误差看其大小和符 号的出现，没有明显的规律，但从一系列误差 总体看，则有一定的统计规律

偶然误差的特性△=L-X·真误差的定义：L：观测值，X：真值误差的区间A为正值△为负值ViVi频率立个数Vi个数V频率inndnAdn21210~0.20.6500.1300.6500.13019190.5850.2~0.40.1170.1170.5851512 0.4650.4~0.60.0930.0740.3709110.0560.2800.0680.3400.6~0.8980.8~1.00.0560.2800.0490.245561.0~1.20.0310.1550.0370.185131.2~1.40.0060.0300.0180.090121.4~1.60.0060.0300.0120.0600000001.6以上80820.4950.505

偶然误差的特性 • 真误差的定义： L : 观测值，X :真值  = L − X 误差的区间 为正值 为负值 个数 频率 个数 频率 0~0.2 21 0.130 0.650 21 0.130 0.650 0.2~0.4 19 0.117 0.585 19 0.117 0.585 0.4~0.6 15 0.093 0.465 12 0.074 0.370 0.6~0.8 9 0.056 0.280 11 0.068 0.340 0.8~1.0 9 0.056 0.280 8 0.049 0.245 1.0~1.2 5 0.031 0.155 6 0.037 0.185 1.2~1.4 1 0.006 0.030 3 0.018 0.090 1.4~1.6 1 0.006 0.030 2 0.012 0.060 1.6以上 0 0 0 0 0 0 80 0.495 82 0.505  vi vi  n vi n vi n d vi  n d vi  

偶然误差的特性·在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，即超过一定限值的误差，其出现的概率为零绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大：绝对值相等的止误差和负误差出现的概率相同：偶然误差的数学期望为零，即E(△) = 0,[] = 0limn>00n

偶然误差的特性 • 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限值，即超过一定限值的误差，其出现的概率为 零 • 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； • 绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同； • 偶然误差的数学期望为零，即 0 [ ] lim ( ) 0, =   = → n E n

m-AdS()drV210:V21---01taytorIE93

评定精度的标准m [44]·方差的定义： 2=D(A)=E(△")=limn->00n[]·中误差的定义：=D(A)=E(△)=limn->00n[A]·中误差的估值： m=6=±,n·例:真误差△1△2△3△6△4As-2-1-3甲组+20+5-7-1-4乙组+6+5+2m甲=±2.68″mz=±4.67

评定精度的标准 • 方差的定义： • 中误差的定义： • 中误差的估值： • 例: n D E n [ ] ( ) ( ) lim 2 2  =  = = →   n D E n [ ] ( ) ( ) lim 2  =  = = →   n [ ] m ˆ  = =  真误差 甲组 +5 +2 -2 -1 0 -3 乙组 +6 -7 -1 -4 +5 +2 1 2 3 4 5 6 4.67 2.68 =   =   m m 乙 甲

中误差的几何意义·可以证明中误差是正态分布曲线上两个拐点的横坐标值。由f"_2=01e200/2元得?-1=0a故=±

中误差的几何意义 • 可以证明中误差是正态分布曲线上两个 拐点的横坐标值。        =  − =   = − =   −  故 得 由 1 0 ( 1) 0 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 f e

容许误差A△容=3m或2m30+o240客

容许误差 容 = 3m或2m

相对误差将N个关系式平方后再中误差的绝对值1相对误差=T关测值

相对误差 将N个关系式平方后再中 T 1 = = 关测值 误差的绝对值 相对误差

(1)误差传播定律设独立观测值的函数为Z =f(x1,x2.,xn)按台劳级数展开afafafZz+Z=f(x1,x2..Axn)Axix.x2x2Oxnaxafafaf故Z=Axn)Axi+Axx2axnOx将N个关系式平方后再总和得afafa[4Z-]:[△xi]+Ax4x1+x2ax1axaafOAx·Ax1+2Ax·Ax,l+ax,axaxOxafafn-1Ax,lAxaxax

误差传播定律（1） ( . ) ( , ,., ) ( . ) ( , ,., ) 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 x x x x x x x x x x x x n n n n n n x f x f x f Z x f x f x f Z Z f Z f         + +   +    =   + +   +   +  = + = 故 按台劳级数展开 设独立观测值的函数为 . 2 [ ] 2 [ ] 2 [ ] [ ] [ ] [ ] . [ ] 1 1 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 n n n n x x x f x x x f x x x f Z N n n x f x f x f x x f x x f x x f             +   +             +            = + + + +  −                                                               − 将 个关系式平方后再总和得

（2)误差传播定律当N→8时ax1x2oxn两边除以N得当N→时O1mxlmnm0x2axm

误差传播定律（2） m x f m x f m x f m x f m x f m x f x x f x x f x x f Z x x xn Z x x xn n n n n m m N N Z N 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 . . [ ] [ ] [ ] . [ ] 1 2 1 2 1 2                                                                                              =  + + + = + + + →   = + + + →  或 当 时 两边除以 得 当 时