第2节定点加减运算及硬件实现 一、补码的加法 能利用补码加法公式进行计算；看懂教材的推 导（但不要求学生自己推导） 二、补码的减法 能利用补码减法公式进行计算；看懂教材的推 导（但不要求学生自己推导） 三、溢出问题 四、基本的二进制加法器/减法器（行波，北邮 CAI光盘)
第2节定点加减运算及硬件实现 一、补码的加法 能利用补码加法公式进行计算；看懂教材的推 导（但不要求学生自己推导） 二、补码的减法 能利用补码减法公式进行计算；看懂教材的推 导（但不要求学生自己推导） 三、溢出问题 四、基本的二进制加法器/减法器（行波， 北邮 CAI光盘）
一、补码的加法p26,第4版) [x]补十[y]补=[x十y]林 (mod 2n+1 现分四种情况来证明。假设采用定点整数表示，因此 证明的先决条件是|x|0,y>0,则x十y>0。 相加两数都是正数，故其和也一定是正数。正数的补码和原 码是一样的，可得： [x]补十[y]补=x+y=【x十y]补 (m0d2+1
一、补码的加法(p26,第4版) [ｘ]补＋[ｙ]补＝[ｘ＋ｙ]补 现分四种情况来证明。假设采用定点整数表示,因此 证明的先决条件是︱ｘ︱﹤（2 n- 1）, ︱ｙ︱﹤ （2 n-1）, ︱ｘ＋ｙ︱﹤ （2 n-1） 。 证明中将利用补码的公式定义（公式表示）。 (1)ｘ﹥0,ｙ﹥0,则ｘ＋ｙ﹥0。 相加两数都是正数,故其和也一定是正数。正数的补码和原 码是一样的,可得： [ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]补 (mod 2n+1) (mod 2 n+1 )
2)x>0,0或x十y0时，2n+1+(x十y)>2n+1进位必丢失，又因 (x+y)>0, 故[x]补十[]补=X十y=[x十y]补 (mod 2n+1) B当x+y0,则x十y>0或x+y<0。 这种情况和第2种情况一样，把x和y的位置对调即得证
(2)ｘ﹥0,ｙ﹤0, 则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ0时, 2 n+1 ＋ (ｘ＋ｙ) > 2 n+1,进位必丢失,又因 (ｘ＋ｙ)>0， 故[ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]补 (mod 2 n+1 ) B 当ｘ＋ｙ0,则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0。 这种情况和第2种情况一样,把ｘ和ｙ的位置对调即得证。 相加的两数一个为正,一个为负,因此相加结果有正、负两种可能 。根据补码定义， ∵ [ｘ]补＝ｘ, [ｙ]补＝2 n+1＋ｙ(用了补码定义) ∴ [ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋ 2 n+1 ＋ｙ＝ 2 n+1 ＋(ｘ＋ｙ)
(4)x<0,y<0,则x+y<0。 相加两数都是负数，则其和也一定是负数。 [X]补=2n+1十x, [y]补=2+1十y .[x]外+[y]4=21+x+21+y=21十 (2n+1+x+y) 上式右边分为”2+1”和(2+1+x+y)两部分.既然(x+y)是 负数，而其绝对值又小于2n-1,那么(2+1十x+y)就一定是小于2n+1 而大于2n-1的数，进位”2n+1”必丢失.又因(x十y)<0,所以 [x]补+[y]补=2n+1+(x+y)=[x+y]补 (mod 2n+1)
(4)ｘ<0,ｙ<0,则ｘ＋ｙ<0。 相加两数都是负数,则其和也一定是负数。 ∵ [ｘ]补＝ 2 n+1 ＋ｘ, [ｙ]补＝ 2 n+1 ＋ｙ ∴ [ｘ]补＋[ｙ]补＝ 2 n+1 ＋ｘ＋ 2 n+1 ＋ｙ＝ 2 n+1 ＋ (2n+1 ＋ｘ＋ｙ) 上式右边分为” 2 n+1 ”和(2 n+1 ＋ｘ＋ｙ)两部分.既然(ｘ＋ｙ)是 负数,而其绝对值又小于2 n-1,那么(2 n+1＋ｘ＋ｙ)就一定是小于2 n+1 而大于2 n-1的数,进位”2 n+1 ”必丢失.又因(ｘ＋ｙ)<0, 所以 [ｘ]补＋[ｙ]补＝ 2 n+1 ＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]补 (mod 2n+1 )
一、补码的加法(p31,第3版) [xl补十[y]补=[x+yl补(mod2) 现分四种情况来证明。假设采用定点小数表示，因 此证明的先决条件是|x|0,y>0,则x十y>0。 相加两数都是正数，故其和也一定是正数。正数的补码 和原码是一样的，可得： [x]补十[y]补=X十y=[X十y]补 (mod 2)
一、补码的加法(p31,第3版) [ｘ]补＋[ｙ]补＝[ｘ＋ｙ]补 现分四种情况来证明。假设采用定点小数表示,因 此证明的先决条件是︱ｘ︱﹤1, ︱ｙ︱﹤1, ︱ｘ＋ｙ︱ ﹤1。 证明中将利用补码的公式定义（公式表示）。 (1)ｘ﹥0,ｙ﹥0,则ｘ＋ｙ﹥0。 相加两数都是正数,故其和也一定是正数。正数的补码 和原码是一样的,可得： [ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]补 (mod 2) (mod 2)
(2)x>0,y0或x+y0时，2+（x+y)>2,进位2必丢失，又因(x十 y)>0, 故[x]补十[y]补=x十y=[x十]补 (mod 2) B当x+y0,则x十y>0或x+y<0。 这种情况和第2种情况一样，把x和y的位置对调即得证
(2)ｘ﹥0,ｙ﹤0, 则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ0时,2 ＋ (ｘ＋ｙ) > 2,进位2必丢失,又因(ｘ＋ ｙ)>0， 故[ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]补 (mod 2) B 当ｘ＋ｙ0,则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0。 这种情况和第2种情况一样,把ｘ和ｙ的位置对调即得证。 相加的两数一个为正,一个为负,因此相加结果有正、负两种可能 。根据补码定义， ∵ [ｘ]补＝ｘ, [ｙ]补＝2＋ｙ(用了补码定义) ∴ [ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋2＋ｙ＝2＋(ｘ＋ｙ)
(4)x<0,y<0,则x十y<0。 相加两数都是负数，则其和也一定是负数。 三2x数 [x]补=2十X,[y]补=2十 上式右边分为”2”和(2+x+y)两部分.既然(x十y)是负数，而 其绝对值又小于1，那么(2+x十y)就一定是小于2而大于1的数，进位 ”2”必丢失.又因(x十y)<0,所以 [x]补十[y]补=2十(X+y)=[x十y]补 (mod 2)
(4)ｘ<0,ｙ<0,则ｘ＋ｙ<0。 相加两数都是负数,则其和也一定是负数。 ∵ [ｘ]补＝2＋ｘ, [ｙ]补＝2＋ｙ ∴ [ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋ｘ＋2＋ｙ＝2＋(2＋ｘ＋ｙ) 上式右边分为”2”和(2＋ｘ＋ｙ)两部分.既然(ｘ＋ｙ)是负数,而 其绝对值又小于1,那么(2＋ｘ＋ｙ)就一定是小于2而大于1的数,进位 ”2”必丢失.又因(ｘ＋ｙ)<0, 所以 [ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]补 (mod 2)
[例9-第3版]x=+0.1011,y=-0.0101,求x十 y。(要掌握) [解 [x]补=0.1011， [y]补=1.1011 [x]补 0.1011 +[y]补1.101山 [x+]*0.0110 进位位，设计 状态寄存器 中保存 x+y=0.0110 由以上例题看到，补码加法的特点： 一是符号位要作为数的一部分一起参加运算； 二是要在模2的意义下相加，即超过2的进位要保存或丢 掉
[例9-第3版] ｘ＝＋0.1011, ｙ＝－0.0101,求ｘ＋ ｙ。(要掌握) [解:] [ｘ]补＝0.1011, [ｙ]补＝1.1011 [ｘ]补 0.1011 ＋ [ｙ]补 1.1011 [ｘ＋ｙ]补10.0110 ｘ＋ｙ＝0.0110 由以上例题看到,补码加法的特点: 一是符号位要作为数的一部分一起参加运算; 二是要在模2的意义下相加,即超过2的进位要保存或丢 掉。 进位位,设计 状态寄存器 中保存
[例12-第4版，P27]x=+1011,y=一0101，求x 十y。(要掌握) [解 [x]补=01011，[y]林=11011 [x]补 01011 11011 [x+]杯00110 进位位，设计 状态寄存器 中保存 x+y=+0110 由以上例题看到，补码加法的特点： 一是符号位要作为数的一部分一起参加运算； 二是要在模2+1的意义下相加，即超过2+1的进位要丢掉
[例12-第4版，P27] ｘ＝＋1011, ｙ＝－0101,求ｘ ＋ｙ。(要掌握) [解:] [ｘ]补＝01011, [ｙ]补＝11011 [ｘ]补 0 1 0 1 1 ＋ [ｙ]补 1 1 0 1 1 [ｘ＋ｙ]补 10 0 1 1 0 ｘ＋ｙ＝+0110 由以上例题看到,补码加法的特点: 一是符号位要作为数的一部分一起参加运算; 二是要在模2 n+1的意义下相加,即超过2 n+1的进位要丢掉 。 进位位,设计 状态寄存器 中保存
二、补码的减法 [x一y]补=[X]补一[y]补=[]补十[一y]补 只需要证明 [一]补=一[]补 .[x十y]补=[x]补十[y]补 (mod 2n+1) [y]补=【X十y]补x]补 ,[x一y]补=[x]补+[(y刀补
二、补码的减法 [ｘ－ｙ]补＝[ｘ]补－[ｙ]补＝[ｘ]补＋[－ｙ]补 只需要证明 [－ｙ]补=－[ｙ]补 ∵[ｘ＋ｙ]补＝[ｘ]补＋[ｙ]补 (mod 2 n+1 ) ∴[ｙ]补＝ [ｘ＋ｙ]补-[ｘ]补 ∵[ｘ－ｙ]补＝[ｘ]补+[(-ｙ)]补