清华大学：《数据结构》课程教学资源（习题讲义实验）第七章集合与搜索习题解答.doc_大学文库

第 7 章集合与搜索 56 A + B = (A - B) + (B - A) + A * B 【解答】若设集合 A= { 1, 3, 4, 7, 9, 15 }，集合 B = { 2, 3, 5, 6, 7, 12, 15, 17 }。则 A + B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12, 15, 17 } 又 A * B = { 3, 7, 15 }, A – B = { 1, 4, 9 }, B – A = { 2, 5, 6, 12, 17 } 则 (A – B) + (B – A) + A * B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12, 15, 17 } 有 A + B = (A – B) + ( B – A ) + A * B。 7-7 给定一个用无序链表表示的集合，需要在其上执行 operator+( ), operator*( ), operator- ( ), Contains(x), AddMember (x), DelMember(x), Min( )，试写出它的类声明，并给出所有这些成员函数的实现。【解答】下面给出用无序链表表示集合时的类的声明。 template class Set; //用以表示集合的无序链表的类的前视定义 template class SetNode { //集合的结点类定义 friend class SetList; private: Type data; //每个成员的数据 SetNode *link; //链接指针 public: SetNode (const Type& item ) : data (item), link (NULL); //构造函数 }; template class Set { //集合的类定义 private: SetNode *first, *last; //无序链表的表头指针, 表尾指针 public: SetList ( ) {first = last = new SetNode (0); } //构造函数 ~SetList ( ) { MakeEmpty ( ); delete first; } //析构函数 void MakeEmpty ( ); //置空集合 int AddMember ( const Type& x ); //把新元素 x 加入到集合之中 int DelMember ( const Type& x ); //把集合中成员 x 删去 Set & operator = ( Set & right ); //复制集合 right 到 this。 Set & operator + ( Set & right ); //求集合 this 与集合 right 的并 Set & operator * ( Set & right ); //求集合 this 与集合 right 的交 Set & operator - ( Set & right ); //求集合 this 与集合 right 的差 int Contains ( const Type& x ); //判 x 是否集合的成员 int operator == ( Set & right ); //判集合 this 与集合 right 相等 Type& Min ( ); //返回集合中的最小元素的值 } (1) operator + ( ) template Set & Set :: operator + ( Set & right ) { //求集合 this 与集合 right 的并, 计算结果通过临时集合 temp 返回，this 集合与 right 集合不变

第7章集合与搜索 ∥在集合中寻找值最小的成员并返回它的位置。 SetNode*p=first->ink, q=firsI->ink 仰是检测指针,q是记忆最小指针 while(p I=NULL)( if(p-data data )q=p ∥找到更小的,让q记忆它 ∥继续检测 7-8设有序顺序表中的元素依次为017,094,154,170,275,503,509,512553,612,677765,897,908。试画出对其进行折半搜索时的二叉搜索树,并计算搜索成功的平均搜索长度和搜索不成功的平均搜索长度【解答】 m=14c=14+2*2+3*4+4+)=1 ASL (3*1+4*14) 7-9若对有n个元素的有序顺序表和无序顺序表进行顺序搜索,试就下列三种情况分别讨论两者在等搜索概率时的平均搜索长度是否相同? (1)搜索失败 (2)搜索成功,且表中只有一个关键码等于给定值k的对象 (3)搜索成功,且表中有若干个关键码等于给定值k的对象,要求一次搜索找出所有对象【解答】 (1)不同。因为有序顺序表搜索到其关键码比要査找值大的对象时就停止搜索,报告失败信息,不必搜索到表尾;而无序顺序表必须搜索到表尾才能断定搜索失败 (2)相同。搜索到表中对象的关键码等于给定值时就停止搜索,报告成功信息 (3)不同。有序顺序表中关键码相等的对象相继排列在一起,只要搜索到第一个就可以连续搜索到其它关键码相同的对象。而无序顺序表必须搜索全部表中对象才能确定相同关键码的对象都找了出来所需时间就不相同了前两问可做定量分析。第三问推导出的公式比较复杂,不再进一步讨论。 7-10假定用一个循环链表来实现一个有序表,并让指针head指向具有最小关键码的结点。指针 current 初始时等于head,每次搜索后指向当前检索的结点,但如果搜索不成功则crεn重置为heud。试编写个函数 search(head, currenr,key)实现这种搜索。当搜索成功时函数返回被检索的结点地址,若搜索不成功则函数返回空指针0。请说明如何保持指针 curent以减少搜索时的平均搜索长度

第 7 章集合与搜索 59 //在集合中寻找值最小的成员并返回它的位置。 SetNode * p = first->link, *q = first->link; //p 是检测指针, q 是记忆最小指针 while ( p != NULL ) { if ( p->data data ) q = p; //找到更小的, 让 q 记忆它 p = p->link; //继续检测 } return q; } 7-8 设有序顺序表中的元素依次为 017, 094, 154, 170, 275, 503, 509, 512, 553, 612, 677, 765, 897, 908。试画出对其进行折半搜索时的二叉搜索树, 并计算搜索成功的平均搜索长度和搜索不成功的平均搜索长度。【解答】 7-9 若对有 n 个元素的有序顺序表和无序顺序表进行顺序搜索, 试就下列三种情况分别讨论两者在等搜索概率时的平均搜索长度是否相同? (1) 搜索失败; (2) 搜索成功, 且表中只有一个关键码等于给定值 k 的对象; (3) 搜索成功, 且表中有若干个关键码等于给定值 k 的对象, 要求一次搜索找出所有对象。【解答】 (1) 不同。因为有序顺序表搜索到其关键码比要查找值大的对象时就停止搜索，报告失败信息，不必搜索到表尾；而无序顺序表必须搜索到表尾才能断定搜索失败。 (2) 相同。搜索到表中对象的关键码等于给定值时就停止搜索，报告成功信息。 (3) 不同。有序顺序表中关键码相等的对象相继排列在一起，只要搜索到第一个就可以连续搜索到其它关键码相同的对象。而无序顺序表必须搜索全部表中对象才能确定相同关键码的对象都找了出来，所需时间就不相同了。前两问可做定量分析。第三问推导出的公式比较复杂，不再进一步讨论。 7-10 假定用一个循环链表来实现一个有序表，并让指针 head 指向具有最小关键码的结点。指针 current 初始时等于 head，每次搜索后指向当前检索的结点，但如果搜索不成功则 current 重置为 head。试编写一个函数 search(head, current, key)实现这种搜索。当搜索成功时函数返回被检索的结点地址，若搜索不成功则函数返回空指针 0。请说明如何保持指针 current 以减少搜索时的平均搜索长度。 509 154 677 017 275 553 897 094 170 503 512 612 765 908 14 45 (1 2 * 2 3* 4 4 * 7) 14 1 14 1 14 1 =  = + + + = i= ASLsucc Ci 15 59 (3*1 4 *14) 15 1 15 1 15 0 ' =  = + = i= ASLunsucc Ci current

第 7 章集合与搜索 60 【解答】相应的搜索函数可以定义为链表及链表结点类的友元函数，直接使用链表及链表结点类的私有数据成员。 Template ListNode * Search ( ListNode * head, ListNode *& current, Type key ) { ListNode * p, * q; if ( key data link; //循链搜索其值等于 key 的结点 if ( p->data == key ) { current = p; return p; } //找到, 返回结点地址 else { current = head; return NULL; } //未找到, 返回空指针 } 7-11 考虑用双向链表来实现一个有序表，使得能在这个表中进行正向和反向搜索。若指针 p 总是指向最后成功搜索到的结点，搜索可以从 p 指示的结点出发沿任一方向进行。试根据这种情况编写一个函数 search(head, p, key)，检索具有关键码 key 的结点，并相应地修改 p。最后请给出搜索成功和搜索不成功时的平均搜索长度。【解答】 Template DblListNode * Search ( DblListNode * head, DblListNode *& p, Type key ) { //在以 head 为表头的双向有序链表中搜索具有值 key 的结点。算法可视为双向链表类和双向链表结点类的友元 //函数。若给定值 key 大于结点 p 中的数据, 从 p 向右正向搜索, 否则, 从 p 向左反向搜索。 DblListNode * q = p; if ( key data ){ while ( q != NULL && q->data > key ) q = q-> lLink; } //反向搜索 else { while ( q != NULL && q->data rLink; } //正向搜索 if ( q != NULL && q->data == key ) { p = q; return p; } //搜索成功 else return NULL; } 如果指针 p 处于第 i 个结点(i = 1, 2, …, n)，它左边有 i-1 个结点，右边有 n-i 个结点。找到左边第 i-1 号结点比较 2 次，找到第 i-2 号结点比较 3 次，…，找到第 1 号结点比较 i 次，一般地，找到左边第 k 个结点比较 i-k+1 次(k = 1, 2, …, i-1)。找到右边第 i+1 号结点比较 2 次，找到第 i+2 号结点比较3 次，…，找到第 n 号结点比较 n-i+1 次，一般地，找到右边第 k 个结点比较 k-i+1 次(k = i+1, i+2, …, n)。因此，当指针处于第 i 个结点时的搜索成功的平均数据比较次数为一般地，搜索成功的平均数据比较次数为 head 10 20 30 40 50 60 head p ∧ 10 20 30 40 50 60 70 ∧ n n i i i n i i i n n n n i k k i n n k i i k * 2 3 * 2 * ( 3) 1 ( 1) ( 1) 2 2 1 1 1 − − + +  =      + − − +  =      +  − + +  − + = + − = n n n n n i i i n n ASL n i succ 3 * 3 1 2 1 3 2 1 2 + − =        − − + + = =

第7章集合与搜索 7-18在二叉搜索树上删除一个有两个子女的结点时,可以采用以下三种方法 (1)用左子树T上具有最大关键码的结点X顶替,再递归地删除X (2)交替地用左子树T上具有最大关键码的结点和右子树TR上具有最小关键码的结点顶替,再递归地删除适当的结点 (3)用左子树T上具有最大关键码的结点或者用右子树TR上具有最小关键码的结点顶替,再递归地删除适当的结点。可随机选择其中一个方案。试编写程序实现这三个删除方法,并用实例说明哪一个方法最易于达到平衡化【解答】 ①在被删结点有两个子女时用左子树TL中具最大关键码的结点顶替的算法: emplate BsiNode* BST: leftReplace( BstNode*ptr)( /进到pm的左子树 hile(lemp-> righIChild=NULL)lemp=temp-> righIChild:搜寻中序下最后一个结点 ptr->data= temp->data; 用该结点数据代替根结点数据 return temp: ②在被删结点有两个子女时用右子树TR中具最小关键码的结点顶替的算法 template BstNode* BST:: rightReplace( BsINodesType>*ptr)t BsINode*temp=ptr->righIChild ∥进到pr的右子树 while( temp->lefi Child I= NULL)temp= temp->lefichild ∥搜寻中序下最后一个结点 ptr->data= temp->data; ∥用该结点数据代替根结点数据 return temp: (1)用左子树T上具有最大关键码的结点X顶替,再递归地删除X template void BST: Remore( Type& x, BstNode*& ptr)i 私有函数:在以p为根的二叉搜索树中删除含x的结点。若删除成功则新根通过p返回 if(ptr I=NULL) if(x data)Remove(x, ptr->lefi child); ∥在左子树中执行删除 else if (x> ptr->data )Remove(x, ptr->right Child); ∥在右子树中执行删除 else if plr->lefiChild I= NULL & ptr->right Child I= NUll)t ∥pm指示关键码为x的结点,它有两个子女 lemp= firePlace(p);在p的左子树中搜寻中序下最后一个结点顶替x Remove(p->daa,lemp);M在lemp为根的子树中删除该结点 ∥pm指示关键码为x的结点,它只有一个或零个子女 if ptr->lefiChild== NULL) ptr= ptr->righr Child; ∥只有右子女 lse if( ptr->righI Child==NULL )ptr= ptr->lefiChild; ∥只有左子女 delete temp (2)交替地用左子树上具有最大关键码的结点和右子树TR上具有最小关键码的结点顶替,再递归

第 7 章集合与搜索 63 7-18 在二叉搜索树上删除一个有两个子女的结点时，可以采用以下三种方法： (1) 用左子树 TL上具有最大关键码的结点 X 顶替，再递归地删除 X。 (2) 交替地用左子树 TL上具有最大关键码的结点和右子树 TR 上具有最小关键码的结点顶替，再递归地删除适当的结点。 (3) 用左子树 TL上具有最大关键码的结点或者用右子树 TR 上具有最小关键码的结点顶替，再递归地删除适当的结点。可随机选择其中一个方案。试编写程序实现这三个删除方法，并用实例说明哪一个方法最易于达到平衡化。【解答】 ① 在被删结点有两个子女时用左子树 TL 中具最大关键码的结点顶替的算法： template BstNode * BST :: leftReplace ( BstNode * ptr ) { BstNode * temp = ptr->leftChild; //进到 ptr 的左子树 while ( temp->rightChild != NULL ) temp = temp->rightChild; //搜寻中序下最后一个结点 ptr->data = temp->data; //用该结点数据代替根结点数据 return temp; } ② 在被删结点有两个子女时用右子树 TR中具最小关键码的结点顶替的算法： template BstNode * BST :: rightReplace ( BstNode * ptr ) { BstNode * temp = ptr->rightChild; //进到 ptr 的右子树 while ( temp->leftChild != NULL ) temp = temp->leftChild; //搜寻中序下最后一个结点 ptr->data = temp->data; //用该结点数据代替根结点数据 return temp; } (1) 用左子树 TL上具有最大关键码的结点 X 顶替，再递归地删除 X。 template void BST :: Remove ( Type& x, BstNode *& ptr ) { //私有函数：在以 ptr 为根的二叉搜索树中删除含 x 的结点。若删除成功则新根通过 ptr 返回。 BstNode * temp; if ( ptr != NULL ) if ( x data ) Remove ( x, ptr->leftChild ); //在左子树中执行删除 else if ( x > ptr->data ) Remove ( x, ptr->rightChild ); //在右子树中执行删除 else if ( ptr->leftChild != NULL && ptr->rightChild != NULL ) { // ptr 指示关键码为 x 的结点，它有两个子女 temp = leftReplace ( ptr ); //在 ptr 的左子树中搜寻中序下最后一个结点顶替 x Remove ( ptr->data, temp ); //在 temp 为根的子树中删除该结点 } else { // ptr 指示关键码为 x 的结点，它只有一个或零个子女 temp = ptr; if ( ptr->leftChild == NULL ) ptr = ptr->rightChild; //只有右子女 else if ( ptr->rightChild == NULL ) ptr = ptr->leftChild; //只有左子女 delete temp; } } (2) 交替地用左子树 TL上具有最大关键码的结点和右子树 TR 上具有最小关键码的结点顶替，再递归

第7章集合与搜索地删除适当的结点 template void BST: Remove( Type& x, BstNode * pir, int& dir)i 私有函数:在以pm为根的二叉搜索树中删除含x的结点。若删除成功则新根通过p返回。在参数表中有一个 ∥引用变量dir,作为调整方向的标记。若dir=0,用左子树上具有最大关键码的结点顶替被删关键码;若dir=1 ∥用右子树上具有最小关键码的结点顶替被删关键码结点,在调用它的程序中设定它的初始值为0。 BsINode *temp; if(ptr I=NULL) if(xdata)Remove(x, ptr->lefi Child, dir )i ∥在左子树中执行删除 else if( x> ptr->data ) Remove(x, ptr->righ/Child, dir ) ∥在右子树中执行删除 else if plr->lefi Child I= NULL & ptr->righI Child 1= NULL)( ∥pm指示关键码为x的结点,它有两个子女 (d=0){ emp= lefReplace(p);d=1;Mpm的左子树中搜寻中序下最后一个结点顶替x emp= rightReplace(p);dr=0;在p的右子树中搜寻中序下第一个结点顶替x Remove(ptr->data, temp, dir ) ∥在lemp为根的子树中删除该结点 ∥pm指示关键码为x的结点,它只有一个或零个子女只有右子女 else if( ptr->righIChild== NULL ) ptr= ptr->lefiChild; ∥只有左子女 (3)用左子树上具有最大关键码的结点或者用右子树TR上具有最小关键码的结点顶替,再递归地删除适当的结点。可随机选择其中一个方案 template void BST:: Remove( Type& x, BstNode*& ptr)i ∥私有函数:在以pm为根的二叉搜索树中删除含x的结点。若删除成功则新根通过p返回。在程序中用到一个 ∥随机数发生器rand(),产生0~32767之间的随机数,将它除以16384,得到0-2之间的浮点数。若其大于1,用左 ∥子树上具有最大关键码的结点顶替被删关键码;若其小于或等于1,用右子树上具有最小关键码的结点顶替被删 ∥关键码结点,在调用它的程序中设定它的初始值为0 BstNode temp; f(ptr I=NULL) if(xdata )Remove(x, ptr->lefi child); ∥在左子树中执行删除 else if(x> ptr->data ) Remove(x, ptr->rightChild ) ∥在右子树中执行删除 else if( ptr-> lefiChild I= NULL & pir->righI Child I= NULL)& ∥pm指示关键码为x的结点,它有两个子女 if((float)( rand(/16384)>1)i firePlace(pr);d=1;M在pm的左子树中搜寻中序下最后一个结点顶替 temp= rightreplace(p);dr=0;Mp的右子树中搜寻中序下第一个结点顶替x

第 7 章集合与搜索 64 地删除适当的结点。 template void BST :: Remove ( Type& x, BstNode *& ptr, int& dir ) { //私有函数：在以 ptr 为根的二叉搜索树中删除含 x 的结点。若删除成功则新根通过 ptr 返回。在参数表中有一个 //引用变量 dir, 作为调整方向的标记。若 dir = 0, 用左子树上具有最大关键码的结点顶替被删关键码; 若 dir = 1, //用右子树上具有最小关键码的结点顶替被删关键码结点, 在调用它的程序中设定它的初始值为 0。 BstNode * temp; if ( ptr != NULL ) if ( x data ) Remove ( x, ptr->leftChild, dir ); //在左子树中执行删除 else if ( x > ptr->data ) Remove ( x, ptr->rightChild, dir ); //在右子树中执行删除 else if ( ptr->leftChild != NULL && ptr->rightChild != NULL ) { // ptr 指示关键码为 x 的结点，它有两个子女 if ( dir == 0 ) { temp = leftReplace ( ptr ); dir = 1; //在 ptr 的左子树中搜寻中序下最后一个结点顶替 x } else { temp = rightReplace ( ptr ); dir = 0; //在 ptr 的右子树中搜寻中序下第一个结点顶替 x } Remove ( ptr->data, temp, dir ); //在 temp 为根的子树中删除该结点 } else { // ptr 指示关键码为 x 的结点，它只有一个或零个子女 temp = ptr; if ( ptr->leftChild == NULL ) ptr = ptr->rightChild; //只有右子女 else if ( ptr->rightChild == NULL ) ptr = ptr->leftChild; //只有左子女 delete temp; } } (3) 用左子树 TL上具有最大关键码的结点或者用右子树 TR 上具有最小关键码的结点顶替，再递归地删除适当的结点。可随机选择其中一个方案。 #include template void BST :: Remove ( Type& x, BstNode *& ptr ) { //私有函数：在以 ptr 为根的二叉搜索树中删除含 x 的结点。若删除成功则新根通过 ptr 返回。在程序中用到一个 //随机数发生器 rand( ), 产生 032767 之间的随机数, 将它除以 16384, 得到 02 之间的浮点数。若其大于 1, 用左 //子树上具有最大关键码的结点顶替被删关键码; 若其小于或等于 1, 用右子树上具有最小关键码的结点顶替被删 //关键码结点, 在调用它的程序中设定它的初始值为 0。 BstNode * temp; if ( ptr != NULL ) if ( x data ) Remove ( x, ptr->leftChild ); //在左子树中执行删除 else if ( x > ptr->data ) Remove ( x, ptr->rightChild ); //在右子树中执行删除 else if ( ptr->leftChild != NULL && ptr->rightChild != NULL ) { // ptr 指示关键码为 x 的结点，它有两个子女 if ( (float) ( rand ( ) / 16384 ) > 1 ) { temp = leftReplace ( ptr ); dir = 1; //在 ptr 的左子树中搜寻中序下最后一个结点顶替 x } else { temp = rightReplace ( ptr ); dir = 0; //在 ptr 的右子树中搜寻中序下第一个结点顶替 x

清华大学：《数据结构》课程教学资源（习题讲义实验）第七章 集合与搜索习题解答

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