《大学物理AI》作业No.12自感、互感、电磁场一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案）1.有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为和1。管内充满均匀介质，其磁导率分别为μ和。设r:r=1:2，μ：μ=2:1，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L：L与磁能之比Wa：We分别为：【C](A) L:la= 1:1,W:We=1:1(B)L:L=1:2,Wi:We=1:1(C) L:la= 1:2,Wm：Wm=1:2(D)L:L=2:1,Wm:Wm= 2:1N2L=μn?V =解：长直密绕螺线管自感系数为：r2=丝所以自感系数之比为：LnL2，又两线圈串联，=，而磁能Wm=Wml-4-1所以磁能之比为：故选CWm2L222.面积为S和2S的两圆形线圈1、2如图放置，通有相同的电流I，线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通量用Φ21表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通量用2表示，则Φ21和i2的大小关系应为：【C」(B) 021 =≥d2(A) (021=202(D) 421 >012(C) Φ21 = Φ12解：由互感系数定义有2=Mz2/2，=Mz/，因为M12=M21，而I1=12，所故选C以Φ21=Φ12°3．如图，一导体棒ab在均匀磁场中沿金属导轨向铁芯B右作匀加速运动，磁场方向垂直导轨所在平面。若MDHxxi议导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁导率为常数，则达WbxX到稳定后在电容器的M极板上［B]（A）带有一定量的正电荷（B）带有一定量的负电荷（C）带有越来越多的正电荷(D）带有越来越多的负电荷
2S I S I 1 2 《大学物理 AI》作业 No.12 自感、互感、电磁场 一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案） 1．有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为 r1 和 r2。管内充满均匀介质， 其磁导率分别为 1 和 2 。设 r1 :r2 =1: 2 ， 1 : 2 = 2:1 ，当将两只螺线管串联在电路中通 电稳定后，其自感系数之比 L1：L2 与磁能之比 Wm1：Wm2 分别为：[ C ] (A) L1:L2 = 1:1， Wm1:Wm2 = 1:1 (B) L1:L2 = 1:2， Wm1:Wm2 = 1:1 (C) L1:L2 = 1:2， Wm1:Wm2 = 1:2 (D) L1:L2 = 2:1， Wm1:Wm2 = 2:1 解：长直密绕螺线管自感系数为： 2 2 2 r l N L = n V = ， 所以自感系数之比为： 2 1 4 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 = = = r r L L ； 而磁能 2 2 1 Wm = LI ，又两线圈串联，I1=I2， 所以磁能之比为： 2 1 2 1 2 1 = = L L W W m m 。 故选 C 2．面积为 S 和 2S 的两圆形线圈 1、2 如图放置，通有相同的 电流 I，线圈 1 的电流所产生的通过线圈 2 的磁通量用 21 表 示，线圈 2 的电流所产生的通过线圈 1 的磁通量用 12 表示， 则 21 和 12 的大小关系应为：[ C ] (A) 21 = 212 (B) 21 12 2 1 = (C) 21 = 12 (D) 21 12 解： 由互感系数定义有 12 12 2 = M I ， 21 21 1 = M I ，因为 M12 = M21 ，而 1 2 I = I ，所 以 21 = 12 。 故选 C 3．如图，一导体棒 ab 在均匀磁场中沿金属导轨向 右作匀加速运动，磁场方向垂直导轨所在平面。若 导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁导率为常数，则达 到稳定后在电容器的 M 极板上[ B ] （A）带有一定量的正电荷 （B）带有一定量的负电荷 （C）带有越来越多的正电荷 （D）带有越来越多的负电荷 2 铁芯 M N v a b B
家解：对右边回路，1=vBI，1=-。RMx★i议由于互感，左边线圈磁链中=MI=Mxbxxxd_MBI.dy左边感生电动势为：82=dtRdt故选B感生电源82为常数，指向如图，所以M上带有定量的负电荷。4．对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法是正确的。【A（A）位移电流是由变化电场产生的。(B）位移电流是由变化磁场产生的。(C）位移电流的热效应服从焦耳一楞次定律。(D）位移电流的磁效应不服从安培环路定理。故选A解：根据位移电流的定义知：A说法是正确的。5．两根很长的平行直导线，其间距离为a，与电源组成闭合回路如图。已知导线上的电流强度为1，在保持1不变的情况下，若将导线间距离增大，则空间的：［A］(A）总磁能将增大。(B）总磁能将减小。(C）总磁能将保持不变。(D）总磁能的变化不能确定解：导线间距离a增大，从而磁通①增大，自感系数L增大，总磁能Wm=LI?也增大。故选A6：在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示，B的大小以速率dB/dt变化，有一长度为l。的金属棒先后放在磁场的两.0x6个不同位置，则金属棒在这两个位置1(ab)和2(a'b’）时感应电动势的大小关系为：［B］(A) 2=6) 0(B) 62 >61() 8, =6,=0(C) 62 Aoab，doplS/dB根据法拉第电磁感应定律有：15-而本题非静电场——感生涡旋电场是垂直于径向的，故有60a=8ob=Soa"=Sob:=0，于是得金属棒在两个位置时感应电动势的关系为：62>6故选B
I 2 M N 铁芯 l v a b B R i 解：对右边回路， = vBl 1 ， R vBl R i = = 1 。 由于互感，左边线圈磁链 R vBl = M i = M ， 左边感生电动势为： t v R MBl t d d d d 2 = = 感生电源 2 为常数，指向如图，所以 M 上带有定量的负电荷。 故选 B 4．对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法是正确的。[ A ] (A) 位移电流是由变化电场产生的。 (B) 位移电流是由变化磁场产生的。 (C) 位移电流的热效应服从焦耳－楞次定律。 (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理。 解：根据位移电流的定义知：A 说法是正确的。 故选 A 5．两根很长的平行直导线，其间距离为 a，与电源组成闭合回路如图。已知 导线上的电流强度为 I，在保持 I 不变的情况下，若将导线间距离增大，则空 间的：[ A ] (A) 总磁能将增大。 (B) 总磁能将减小。 (C) 总磁能将保持不变。 (D) 总磁能的变化不能确定。 解：导线间距离 a 增大，从而磁通 Φ 增大，自感系数 L 增大，总磁能 2 2 1 Wm = LI 也增大。 故选 A 6．在圆柱形空间内有一磁感应强度为 B 的均匀磁场，如图所示， B 的 大小以速率 dB/dt 变化，有一长度为 0 l 的金属棒先后放在磁场的两 个不同位置，则金属棒在这两个位置 1(ab)和 2(a′b′)时感应电动势 的大小关系为：[ B ] (A) 2 = 1 0 (B) 2 1 (C) 2 1 (D) 2 = 1 = 0 解：连接 oa，ob，o a′和 o b′，知 oab oab， 根据法拉第电磁感应定律有： t B S t d d d d = = 而本题非静电场——感生涡旋电场是垂直于径向的，故有 oa = ob = oa = ob = 0 ， 于是得金属棒在两个位置时感应电动势的关系为： 2 1 故选 B 1 1 2 o a b a b 0 l x x x x x x I I a
二、填空题：1.有两个线圈，自感系数分别为L和L，已知L=3mH,L2=5mH，串联成一个线圈后测得自感系数 L=11mH，则两线圈的互感系数 作.5mH解：设串联后线圈通电流I，则其总磁通链数为：= L,I+ L,I +2M则总自感系数：L-=L+L2+2M所以，两线圈的互感系数；M=(L-L -L2)=(11-3-5)=1.5(mH)2．有两个长度相同，匝数相同，截面积不同的长直螺线管，通以相同大小的电流。现在将小螺线管完全放入大螺线管里（两者轴线重合），且使两者产生的磁场方向一致，则小螺线管内的磁能密度是原来的倍；若使两螺线管产生的磁场方向相反，则小螺线管中的磁能密度为（忽略边缘效应）。1.B，当两线圈内的磁场方向相同时，小线圈内磁场变化为解：因磁能密度：のmB-→2B，所以0m→40m当两线圈内的磁场方向相反时，小线圈内的磁场变为B=0，所以のm=0。3.半径为R的无限长柱形导体上均匀流有电流1，该导体材料的相对磁导率μ，=1，则在导体轴线上一点的磁场能量密度为のmo，在与导体轴线相距为r处Lo12,2(8元2R*)(r<R)的磁场能量密度のmr解：由安培定律，可得：1 B2Holrr<R处,B=号，而磁能密度为：0m=2元2μo所以，r=0处，Bo=0,のmo =0r0处，(r<R)B=蕊2元R21 Pr2urOmr =24元R8元R
二、填空题： 1．有两个线圈，自感系数分别为 L1和L2 ，已知 L1 = 3mH,L2 = 5mH ，串联成一个线圈 后测得自感系数 L =11mH ，则两线圈的互感系数 M= 1.5mH 。 解：设串联后线圈通电流 I，则其总磁通链数为： L I L I 2MI = 1 + 2 + 则总自感系数： L L M I L = 1 + 2 + 2 = 所以，两线圈的互感系数： (11 3 5) 1.5(mH) 2 1 ( ) 2 1 M = L − L1 − L2 = − − = 2．有两个长度相同，匝数相同，截面积不同的长直螺线管，通以相同大小的电流。现在将小 螺线管完全放入大螺线管里（两者轴线重合），且使两者产生的磁场方向一致，则小螺线管内 的磁能密度是原来的 4 倍；若使两螺线管产生的磁场方向相反，则小螺线管 中的磁能密度为 0 （忽略边缘效应）。 解：因磁能密度： 0 2 2 1 B m = ，当两线圈内的磁场方向相同时，小线圈内磁场变化为 B → 2B ，所以 m → 4 m ； 当两线圈内的磁场方向相反时，小线圈内的磁场变为 B = 0 ，所以 m = 0。 3．半径为 R 的无限长柱形导体上均匀流有电流 I，该导体材料的相对磁导率 r =1 ，则在导 体轴线上一点的磁场能量密度为 m0 = 0 ，在与导体轴线相距为 r 处 ( r R )的磁场能量密度 mr = (8 ) 2 4 2 2 0 R I r 。 解：由安培定律，可得： 2 0 2 , R Ir r R B 处 = ，而磁能密度为： 0 2 2 1 B m = 所以， r = 0处，B0 = 0, m0 = 0 。 2 4 2 2 0 2 4 2 2 0 2 0 2 4 8 1 , 2 0 ), R I r R I r R Ir r r R B mr = = 处，（ =
4．反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为：①fsD.ds-24②f,E.d7 =-dm / dt@f,B.ds = 0@H.d-+dpe/dt试判断下列结论是包含或等效于哪一个麦克斯韦方程式的，将你确定的方程式用相应代号填在相对应结论的空白处。?（1）磁感应线是无头无尾的；1（2）电荷总伴随有电场；（3）变化的磁场一定伴随有电流；5.圆形平行板电容器，从q=0开始充电，试画出充电过程中，极板间某点P电场强度的方向和磁场强度的方向。+i解：根据充电方向知：极板间场强竖直向下：由于充电电流i的增PpH加，D向下且增大，由安培环路定理，P点磁场强度方向为@，H如图所示。三、计算题：1.一宽度为1的薄铜片，卷成一个半径为R的细圆筒，设>>R电流I均匀分布通过此铜片（如图）（1）忽略边缘效应，求管内的磁感应强度B的大小（2）不考虑两个伸展部分（如图），求这一螺线管的自感系数。解：（1）因两个伸展面部分电流方向相反，故在管内产生B=0，而铜管相当于一个通电密绕直螺线管，故管内B的大小为B= Aonl = oI(2）管内为匀强磁场，磁能为：
l R I 4．反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为： = = n i i S D S q 1 d ① E l m t L d = −d / d ② B dS = 0 S ③ H l I t e n i L d i d /d 1 = + = ④ 试判断下列结论是包含或等效于哪一个麦克斯韦方程式的，将你确定的方程式用相应代号填 在相对应结论的空白处。 （１）磁感应线是无头无尾的；_ ③_。 （２）电荷总伴随有电场；_ ①_ _。 （３）变化的磁场一定伴随有电流； _ ②_。 5．圆形平行板电容器，从 q = 0开始充电， 试画出充电过程中，极板间某点 P 电场强度的方 向和磁场强度的方向。 解：根据充电方向知：极板间场强竖直向下；由于充电电流 i 的增 加， t D d d 向下且增大，由安培环路定理，P 点磁场强度方向为 ， 如图所示。 三、计算题： 1．一宽度为 l 的薄铜片，卷成一个半径为 R 的细圆筒，设 l R ， 电流 I 均匀分布通过此铜片（如图） （１）忽略边缘效应，求管内的磁感应强度 B 的大小； （２）不考虑两个伸展部分（如图），求这一螺线管的自感系数。 解：（1）因两个伸展面部分电流方向相反，故在管内产生 B =0，而铜管相当于一个通电密绕 直螺线管，故管内 B 的大小为 l I B nI = 0 = 0 (2) 管内为匀强磁场，磁能为： i P E H + −
DZHo12D21Wm=Wm-12μo_2Wm=Hg元R又W.=LI"，所以其自感系数为：L=2.截面为矩形的螺绕环共N匝，尺寸如图所示，图中下半部两矩形表示螺绕环的截面.在螺绕环的轴线上另有一无限长直导线。（1）求螺绕环的自感系数；（2）求长直导线螺绕环间的互感系数：（3）若在螺绕环内通一稳恒电流I，求螺绕环内储存的磁能。oy解：（1）设螺绕环通电流I，由安培环路定理可得环内磁感应强度：B=4oN/2.Y则通过螺绕环的磁通链数为：HoN?IinbW= NO= NJ'HoIhdr:2元2元由自感系数的定义，自感系数为：L==HoN2hinb2元（2）设长直导线通电流1，则在周围产生的磁场：B=g2元则通过螺绕环的磁通链数HoNIhinbW= N=NT"hdr=2元2元由互感系数的定义，互感系数为M==HoNhinb2元（3）若螺绕环通电流I，则环内储存的磁能为：LP?=14ON2h.nb.1?=4oN2P2hnbWm=22元4元
2 2 2 0 0 2 2 2 R l I R l B Wm wm V = = = 又 2 2 1 W LI m = ，所以其自感系数为： l R I W L m 2 0 2 2 = = 2．截面为矩形的螺绕环共 N 匝，尺寸如图所示，图中下半部 两矩形表示螺绕环的截面．在螺绕环的轴线上另有一无限长直 导线。 （1）求螺绕环的自感系数； （2）求长直导线螺绕环间的互感系数； （3）若在螺绕环内通一稳恒电流 I，求螺绕环内储存的磁能。 解：（１）设螺绕环通电流 I，由安培环路定理可得环内磁感 应强度： r NI B 2 0 = 则通过螺绕环的磁通链数为： a N Ih b h r r NI N N b a ln 2 d 2 2 0 0 = = = 由自感系数的定义，自感系数为： a N h b I L ln 2 2 0 = = （２）设长直导线通电流 I，则在周围产生的磁场： r I B 2 0 = 则通过螺绕环的磁通链数 a NIh b h r r I N N b a ln 2 d 2 0 0 = = = 由互感系数的定义，互感系数为： a Nh b I M ln 2 0 = = （３）若螺绕环通电流 I，则环内储存的磁能为： a N I h b I a N h b Wm L I ln 4 ln 2 2 1 2 1 2 2 2 0 2 2 0 == = = b h a o dr r
3.给电容为C的平行板电容器充电，电流为i=0.2×e"(SI),t=0时电容器极板上无电荷。求（1）极板间电压U随时间1而变化的关系：（2）1时刻极板间总的位移电流1。（忽略边缘效应)。解：（1）由电容的定义C=，得极板电压：=-jidt=--+0.2e l-%(-e)（2）由全电流的连续性，1时刻极板间总的位移电流Ia =i= 0.2e-
3．给电容为 C 的平行板电容器充电，电流为 0.2 e (SI), 0 -t i = t = 时电容器极板上无电荷。 求： （1）极板间电压 U 随时间 t 而变化的关系； （2） t 时刻极板间总的位移电流 d I （忽略边缘效应）。 解：（１）由电容的定义 U q C = ，得极板电压： (1 ) 0.2 0.2 | 1 d 1 0 t t t e C e C i t C C q U − − = = = − = − （２）由全电流的连续性， t 时刻极板间总的位移电流： t d I i e − = = 0.2