试卷代号：1080 座位号■ 中央广播电视大学2011一2012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷） 工程数学（本）试题 2012年1月 题 号 三 四 总 分 分 数 得分 评卷人 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设A,B为三阶可逆矩阵，且k>0,则下式( )成立. A.IA+BI=A+BI B.ABI=IAIB'I C.AB-'I=AlBI D.A=A 2.设A是n阶方阵，当条件( )成立时，n元线性方程组AX=b有惟一解， A.r(A)=n B.r(A)<n C.|A=0 D.b=0 1 -17 3.设矩阵A 的特征值为0,2，则3A的特征值为(). 一1 1 A.0,2 B.0,6 C.0,0 D.2,6 561
试卷代号 0座位号 中央广播电视大学 0 11 2学年度第一学期"开放本科"期末考试(半开卷) 工程数学(本)试题 2012 年1 |题号|一|二|三|四|总分| |分数 I I I I I |得分|评卷人| I I- 选择题 1.设 阶可逆 则下 )成立. A. IA +B I = IA I+ IBIB. IAB I = IA II B' I C. lAB = IAIIBI D. IkAI =klAI 2. 设A )成立时 n元线性方程组 X = b有惟一解. A. r(A)=n B. r(A)<n C. IAI =0 D. b=O : J …0.2 A. 0,2 c. 0 ,0 B. 0 ,6 D. 2 ,6 561
4.若随机变量X~N(0,1),则随机变量Y=3X一2~(). A.N(-2,3) B.N(-4,3) C.N(-4,32) D.N(-2,32) 5.对正态总体方差的检验用(). A.U检验法 B.t检验法 C.x2检验法 D.F检验法 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 0 A-1 6.设A,B均为二阶可逆矩阵，则 B-1O x+x2十x3+x4=3 7.线性方程组 x1十3x2十2x:十4x,=6一般解的自由未知量的个数为 2zi 十x3一x,=3 8.设A,B为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B),则称A与B 9.若随机变量X~U[0,2],则D(X)= 10.若9,02都是0的无偏估计，且满足 ,则称01比02更有效. 562
4. 一2-( ). A. N( 一2 ，3) B. N(-4 ,3) c. N(-4 ,32 ) D. N( 一2 ，3 ) 5. 态总 检验 ). A. 验法 c.χZ 检验 D.F 检验 |得分|评卷人| I I I 二、填空题(每小题 r 0 A -I 1 -I 6. 阶可 I I B- 1 0 I XI +X2 +X3 +X4 =3 7. 线性 岛+4岛=6 个数 2xI +X3 -X4=3 8. 为两 = peA)PCB) 9. 变量 10. 偏估 562 ，则称
得分 评卷人 三、计算题（每小题16分，共64分） 234 n117 11.设矩阵A= 2 ,B=111,那么A一B可逆吗？若可逆，求逆矩阵 2 1 23 0 (A-B)-1. 12.在线性方程组 x1十2x2十3x1=入 -x1十x2 =3-1 2x1+3x2+5x3=1 中λ取何值时，此方程组有解，在有解的情况下，求出通解， 13.设随机变量X~N(8,4),求P(|X-8<1)和P(X≤12). (已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.0)=0.8413，Φ(2.0)=0.9773). 14.某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm, 标准差为0.l5cm.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm) 10.4,10.6,10.1,10.4 问：该机工作是否正常(a=0.05,o.5=1.96)? 得 分 评卷人 四、证明题（本题6分） 15.设n阶方阵A满足A2=I,AA'=I,试证A为对称矩阵. 563
|得分|评卷人| I I I 三、计算题{每小题 6分，共 4分) URF A B 1i1iqu HBA B A 12. 在线 (z+2z+3 -Xl +XZ …=3-,l 2Xl +3xZ+5x3 =1 此方程组有解 在有解 况下 13. l) (已知 =0. 6915 ，φ0.0)=0.8413，φ(2.0) =0.9773). 14. 切割 正常 均长 为10.5cm 标准差为 5 c .从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下:(单位 10.4 , 10.6 , 10.1 , 10.4 问:该机工作是否正常 05 ,UO. 975 = 1. 96)? !得分|评卷人| I I I 四、证明题(本题 6分} 15. 设n 阶 阵A 满 证A 对称矩 563
试卷代号：1080 中央广播电视大学2011一2012学年度第一学期“开放本科”期未考试（半开卷） 工程数学（本）试题答案及评分标准 (供参考) 2012年1月 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.B 2.A 3.B 4.D 5.c 二、填空题（每小题3分，共15分） 「OB 6. A O 7.2 8.相互独立 9.司 10.D(81)<D(02) 三、计算题（每小题16分，共64分）】 123 11.解：因为|A一B1=012=1≠0，所以A一B可逆. ……6分 001 123100] 12010-37 又因为(A-B)=01 201 0 +01 0 01-2 01001 00100 1 1001 -2 →0100 1 一2 ………13分 0010 0 -2 17 所以(A一B)1= -2 …16分 0 564
试卷代号 中央广播电视大学 11 2学年度第一学期"开放本科"期末考试{半开卷) 工程数学(本〉试题答案及评分标准 (供参考) 2012 年1 -、单项选择题{每小题 1. B 2. A 3.B 二、填空题(每小题 4.D 5. C 6. ~] 7. 2 8. 9t 10. D((JI)<D((J2) 三、计算题{每小题 1 2 3 11 A - 1 21= qdpo 32loo-- 'lnunu--nunu oo-- [-4'ionVElli---till-- 'inunu nu B-I= B1/ POA4A
12.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 「123 2 3λ -110 3 235 1 0 -1 -11-2 123 011-21 →011 1 0111 0002-20002-2λ 由此可知当入≠1时方程组无解，当入=1时方程组有解.…8分 此时方程组的一般解为： x1=-xg-1 ,其中x3是自由未知量· x2=-x1+1 令x3=0,得方程组的一个特解X。=(一1,1,0)' 方程组的导出组的一般解为：任二一，其中，是自由未知量。 x2=-x3 令x3=1,得导出组的解向量X1=（一1，一1,1)'. 所以方程组的通解为：X=X。+k1X1=(一1,1,0)'十k1(一1，一1,1)'， 其中1是任意常数。………16分 13.解：因为X~N(8,4),则Y=X28~N(0,1). 2 所以P(1X-81<1)=PX,81<0.5)=P(-0.5<X,8<0.5) 2 =Φ(0.5)-Φ(-0.5)=2Φ(0.5)-1=2×0.6915-1=0.383. ………8分 P(X≤12)=p(X28≤228)=(2)=0.973.16分 2 14.解：零假设H。:4=10.5.由于已知g=0.15,故选取样本函数 U=坐一N(0,1)… 5分 GAn 经计算得元=10.375，只=015=0.075， 10.375-10.5 =1.67…10分 「4 0.075 由已知条件4-号=1.96，且 一4 a/n =1.67<1.96=u4- 故接受零假设，即该机工作正常· 16分 四、证明题（本题6分） 15.证明：因为A2=I,AA'=I且 A'=IA'-A'A'-A(AA)=AI-A 所以A为对称矩阵。……………6分 565
12. 将方程组 广矩 阶梯 2 3 3~} l: 2 3 1 O 3 3 3 5 -1 2 3 2AI2A‘| O 1 1 1 1 1 O O O O 由此可知当 ). =F 1时方程组无解，当 ). 1时方程组有解..............……….......... (Xl = -x3-1 此时方程组的一般解为 . ，其中均是自由未知量. lX2=-x3+1 得方程组 IXl= 方程组的导出组的一般解为片，其中岛是自由未知量. lX2=-X3 =(-1 一1 1) 所以方程组的通解为 X = =(一 ，一 1，1)' , 其中 任意常数............................................…..................………. 16 X-8 13. ~N 1) 所以 <1) IX 创X-8一<0.5) =φ(0.5)一φ 一0.5)=2φ(0.5)-1=2XO. 6915-1=0. 383. … … … … …8 分 一8 ~12-8 P(X<12)=P( 一一 =0.9773. 16 2 2 14. 零假 μ=10.5. 知σ=0.15 故选取样 U= 二~~N(O 1) … … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……… . . . . . . . . . . . . σ/~ O. 15 _ _~~ I 110.375-10.51 经计算得王 3 7 5，立二一 5，卜」 i .;; .f4 v. v. v , Iσ/~ I I 0.075 I 由已知条件 l寸= 1. 96 1=1. 67<1. 96=Ul-t 111/~ I 故接受零假设，即该机工作正常….........…………………….........……. 16 四、证明题(本题 15. A' = lA' =NA'=A(AA')=Al=A 所以 A为对称矩阵.…………………………………………………………………… 565