第四章随机变量的函数4.1 一维随机变量函数的分布4.2. 二维随机变量函数的分布
4.1 一维随机变量函数的分布 4.2 二维随机变量函数的分布 第四章 随机变量的函数
4.1 一维随机变量函数的分布一般地，若X是分布已知的随机变量，g(x)为一元连续函数，那么由Y=g(X定义的Y也是一个随机变量．按定义，Y=g(X)的分布函数应为F(y)=PY≤y)=Pig(X≤y)下面我们就依据此式，讨论如何由已知的随机变量X的分布去求它的函数Y一g(X)的分布
一般地，若X是分布已知的随机变量, g(x)为 一元连续函数, 那么由Y＝g(X)定义的Y也是一个 随机变量．按定义，Y＝g(X )的分布函数应为 下面我们就依据此式, 讨论如何由已知的随 机变量X的分布去求它的函数Y＝g(X )的分布． 4.1 一维随机变量函数的分布 F ( y) P{Y y} P{g(X) y} Y = =
例1设随机变量X具有以下分布律0-11X0.20.30.10.4求随机变量Y=(X-1)"的分布律解Y所有可能取的值为0，1，4.由P(Y=0} = PI(X-1)? =0} = P(X =1) =0.1,P(Y = 1} = P(X = 0}+ P(X = 2) = 0.7P(Y = 4) = P(X = -1} = 0.2,04X即得的分布律为0.10.70.2
例1 设随机变量 具有以下分布律： 求随机变量 的分布律. 解 所有可能取的值为0，1，4.由 ， ， ， 即得的分布律为 X 1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 X − 2 Y X = − ( 1) Y 2 P Y P X P X { 0} {( 1) 0} { 1} 0.1 = = − = = = = P Y P X P X { 1} { 0} { 2} 0.7 = = = + = = P Y P X { 4} { 1} 0.2 = = = − = 0 1 4 0.1 0.7 0.2 X
例2设随机变量X的分布律为P(X = k}k =1,2, ...的分布律求随机变量函数Ysin=22:W1ZP(X =4k-1):解 P[Y = -1} ==24k-115k=1k=1811ZP(Y = 0) = ZP(X = 2k) =22h3k=1k=1:W8081ZP(X = 4k -3] :P(Y =1} =124k-315k=1k=101所以Y=si28131515
求随机变量函数 的分布律． 例2 Y = X 2 sin 设随机变量X的分布律为 , 1, 2, 2 1 P{X = k} = k = k 15 2 2 1 { 1} { 4 1} 1 4 1 1 = − = = − = = = − = k k k P Y P X k 3 1 2 1 { 0} { 2 } 1 2 1 = = = = = = = k k k P Y P X k 15 8 2 1 { 1} { 4 3} 1 4 3 1 = = = − = = = − = k k k P Y P X k − = 1 0 1 ~ 2 Y sin X 15 2 3 1 15 8 解 所以
例3 设X服从N(0,1),求Y-X2的分布密度解由Y=X≥0知,当y0时, F(y)=P[Y≤ y)= P(-/y≤X≤/y)2/dx2元所以当y>0时,fy(y)=F(y)2元y0,J≤0y=0时可任即 fy(y)=意规定其值2元1本例正是连续型随机变量函数分布密度的计算方法
= − e , 0 2π 1 0, 0 ( ) 2 y y y f y y Y 例3 设 X 服从N(0, 1), 求Y=X 2的分布密度. 解 所以 由Y = X 2 0知， 即 当y 0时 f Y ( y) = 0 y 0 , F ( y) P{Y y} 当 时 Y = = P{− y X y} − − = y y x e d x 2π 1 2 2 − = y x x 0 2 e d 2π 2 2 2 e 2π 1 0 , ( ) ( ) y Y Y y y f y F y − 当 时 = = y =0时可任 意规定其值 本例正是连续型随机变量函数分布密度的计算方法 ① ②
定理1设X服从正态分布Nu,α2),则随机变量Y=aX+b服从正态分布N(au+b，a?2）证（以a>0为例证明）F(y)= P[Y≤}= P(aX +b≤} = P[X≤_(x-μ)2y-b122dx12元-[y-(aμ+b)21定理12(ao)所以 fy(y)=F(y)e的推论2元a0亦即Y=aX+b服从正态分布N(au+b,a?α2）X-μ定理2 X～N(μ,α)N(0,1)
（以a >0为例证明） 定理1 设 X 服从正态分布N( , 2 ), 则随机变 证 量Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a 22 ) F ( y) P{Y y} Y = = P{aX + b y} − − − − = a y b x e d x 2π 1 2 2 2 ( ) f ( y) F ( y) Y Y = { } a y b P X − = 2 2 2( ) [ ( )] e 2π 1 a y a b a − + − = 亦即Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a 22 ) 所以 定理2 ~ ( , ) 2 X N ~ N(0,1) X Y − = 定理1 的推论
例4设X服从N(1.5,4),计算即2.3节的例5）(1) PI X -1.5>2)(2) PX 2) = P2= 2[1- @(1)] = 2 × (1 - 0.8413) = 0.3174X -1.51-1.5-1-1.5(2) P/X<1) = P≤≤222= Φ(-0.25) -Φ(-1.25)= -Φ(0.25) + Φ(1.25=-0.5987+0.8944=0.2957
例4 设 X 服从N(1.5, 4), 计算 (1) P{| X −1.5 | 2} (2) P{| X | 1} 解 利用定理2, 知 (1) P{ | X－1.5 | 2} = 2[1−(1)] =(−0.25) −(−1.25) = −0.5987+ 0.8944 = 0.2957 = −(0.25) +(1.25) = 2(1− 0.8413) = 0.3174 (2) P{| X | 1} （即2.3节的例5） ~ (0, 1) 2 1.5 N X − , 故有 = 1 2 X－1.5 P 1 1.5 1.5 1 1.5 2 2 2 X P − − − − =
按照上述求随机变量函数分布密度的方法，可证明定理3设X是以f (x)为分布密度的连续型随机变量,其所有可能取值构成区间I, 函数y=g()在区间I上严格单调可微，g(I)为相应的值域，则Y=g(X)也是一个连续型随机变量且分布密度为dflg-'(y)]-'(y) , yeg(l)dyf(y)=其他[0,其中x=g-l(y)是=g(x)的反函数
设X是以 f (x)为分布密度的连续型随机 变量, 其所有可能取值构成区间I, 函数 y＝g(x) 在区 间I上严格单调可微, g(I)为相应的值域, 则Y＝g(X ) 也是一个连续型随机变量且分布密度为 按照上述求随机变量函数分布密度的方法, 可证明 定理3 = − − 0, 其 他 ( ) , ( ) d d [ ( )] ( ) 1 1 g y y g I y f g y f y Y ( ) ( ) . 其中x = g −1 y 是 y = g x 的反函数
例5设随机变量X的分布密度为2(x)=(1+x)x>00,x≤0求Y=ln X的分布密度.解：显然= ln 在(0,+o)上严格单调可微且其反函数为x = g-'(y) =e", y e(-00,+o0)故由定理3知=lnx的分布密度为d(y)fr(y) = f[g-(y))gdy
例5 设随机变量 的分布密度为 求 的分布密度 . 解：显然 在 上严格单调可微且 其反函数为 故由定理3知 的分布密度为 X = + 0, 0 , 0 (1 ) 2 ( ) 2 x x f x x Y = ln X y = ln x (0,+) ( ) , ( , ) 1 = = − + − x g y e y y ( ) [ ( )] ( ) 1 1 g y dy d f y f g y Y − − = y = ln x
2el= f(e')e:VE(-80,+8)元(1+e?y)所以利用定理3可以比较方便地计算随机变量函数的分布密度
所以利用定理3可以比较方便地计算随机变 量函数的分布密度。 , ( , ) (1 ) 2 ( ) 2 − + + = = y e e f e e y y y y